Théorie des groupes/Exercices/Simplicité des groupes linéaires spéciaux projectifs

Problème 1

Soit V un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif F. On a vu dans le chapitre théorique que deux transvections de V sont toujours des éléments conjugués dans le groupe GL(V). On va prouver que si la dimension n de V est au moins égale à 3, deux transvections de V sont toujours des éléments conjugués dans le groupe SL(V).

a) Tout d'abord, on ne suppose pas n au moins égal à 3. Soit f un endomorphisme de V ; on suppose que V est somme directe d'un hyperplan H et d'une droite W stables par f. Prouver que pour tout élément d de F, il existe un endomorphisme de V qui commute avec f et dont le déterminant est égal à d. (Indication : l'endomorphisme à trouver peut être choisi comme coïncidant avec l'identité sur H.)

Modèle:Solution b) On suppose que la dimension n de V est au moins égale à 3. Soient t et u deux transvections de V. À l'aide du point a), prouver que t et u sont des éléments conjugués dans le groupe SL(V).

Problème 2

a) Soit F un corps commutatif, soit a un élément de F qui ne soit le carré d'aucun élément de F. (Le cas se présente. Par exemple, dans le corps à 3 éléments, - 1 n'est pas un carré. De même; un élément négatif du corps des nombres rationnels n'est pas un carré dans ce corps.) Prouver que les matrices

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

et

$\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)$

sont des matrices élémentaires de transvection mais ne sont pas des éléments conjugués dans le groupe SL(2, F).

b) Soit F un corps commutatif ayant un élément qui n'est pas un carré dans F, soit V un espace vectoriel de dimension 2 sur F. Prouver qu'il existe deux transvections de V qui ne sont pas des éléments conjugués dans le groupe SL(V).

Problème 3

D'après le chapitre théorique, l'ordre du groupe PSL(3, 4) est 20160. Le groupe A₈ est lui aussi d'ordre 20160. Nous allons prouver que ces deux groupes ne sont pas isomorphes, ce qui montrera que deux groupes simples finis peuvent avoir le même ordre sans être isomorphes. Puisque le groupe A₈ comprend des éléments d'ordre 6, par exemple (1 2 3 4 5 6) (7 8), il suffit de prouver que PSL(3, 4) n'a pas d'élément d'ordre 6, ce qui sera fait dans la suite de l'exercice.

Rappels :

1° Dans un anneau commutatif où 1 + 1 = 0 (ce qu'on écrit aussi 2 = 0), on a

-1 = 1,

(x + y)² = (x - y)² = x² + y² = x² - y²,

(x + y)⁴ = (x - y)⁴ = x⁴ + y⁴ = x⁴ - y⁴,

(x + y + z)² = x² + y² + z², etc.

C'est vrai en particulier dans le corps à 4 éléments F₄ et dans l'anneau de polynômes F₄[X].

2° Si F désigne un corps commutatif, si M désigne une matrice carrée ∈ M_n(F) (n nombre naturel > 0), si f(X) est un polynôme ∈ F[X] annulé par M, alors chaque facteur irréductible sur F du polynôme caractéristique de M est un des facteurs irréductibles sur F de f(X); cela se déduit facilement du fait que le polynôme minimal de M divise f(X) et du fait que le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de M ont les mêmes facteurs irréductibles (voir P. Tauvel, Algèbre, 2Modèle:E édition, 2010, théor. 11.9.8, p. 191).

3° Dans le corps (commutatif) fini F_q à q éléments, la (q - 1)-ième puissance de tout élément non nul est égale à 1 (ce qu'on peut déduire du théorème de Lagrange), donc le polynôme X^q-1 - 1 admet la décomposition en facteurs linéaires

$X^{q-1}-1=\prod _{t\in F_q\mathrm{\setminus }\{0\}}(X-t).$

a) Désignons par a et b les deux éléments de F₄ distincts de 0 et de 1. Prouver les relations

a³ = b³ = 1,

X³ - 1 = (X -1) (X -a) (X -b).

b) Prouver que PSL(3, 4) n'a pas d'élément d'ordre 6. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 4

Soit $K$ un corps commutatif. On considère le sous-groupe (dit de Borel) de ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$ :

$𝔹=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a^{-1}\end{array}\right)|a\in K^{*},b\in K\}$.

1. Étant donnée $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$ avec $c\ne 0$, montrer qu'il existe $P_1,P_2\in 𝔹$ telles que $M=P_{1}w{P}_2$, où $w=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$.
2. En déduire que ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$ est la réunion disjointe de $𝔹$ et $𝔹w𝔹$.
3. En déduire qu'il n'existe pas de sous-groupe $G$ tel que $𝔹⊊G⊊{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$.
4. Montrer que $𝔹\cap w𝔹w^{-1}$ est égal à l'ensemble des matrices diagonales dans ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$.
5. Montrer que ${\cap }_{g\in {\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)}g𝔹g^{-1}$ est égal au centre de ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$ (on pourra utiliser la question précédente, et considérer $g=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$).

Problème 5

Soit $K$ un corps commutatif de cardinal au moins 4. On se propose de redémontrer, à l'aide du problème précédent, que ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$ est simple.

Soient $N⊲{\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$ un sous-groupe normal et $H={\pi }^{-1}(N)⊲{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$ sa préimage par le morphisme canonique $\pi :{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)\to {\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$.

1. Montrer, en utilisant le problème précédent, que $H𝔹$ est égal à $𝔹$ ou à ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$.
2. Si $H𝔹=𝔹$, montrer que $N$ est trivial (utiliser à nouveau le problème précédent).

   Supposons maintenant $H𝔹={\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$ et considérons le sous-groupe $U$ de $𝔹$ des matrices de la forme $\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)$.

3. Montrer que $wU{w}^{-1}\subset HU$.
4. Montrer que $HU={\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$. On pourra utiliser la question précédente et le fait que ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)$ est engendré par les matrices de la forme $\left(\begin{array}{cc}1& t\\ 0& 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ t& 1\end{array}\right)$ (cf. lemme 15 du présent chapitre).
5. En déduire que ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K)/H$ est isomorphe à $U/(U\cap H)$, et donc en particulier est commutatif.
6. En déduire que $H$ contient $\mathrm{D}({\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(K))$.
7. Conclure.

Problème 6

1. Montrer que le groupe projectif linéaire ${\mathrm{P}\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ (quotient de ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ par son centre $\{\pm \mathrm{i}\mathrm{d}\}$) est isomorphe au groupe symétrique $S_4$.
2. En déduire que ${\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ est isomorphe au groupe alterné $A_4$ (qui n'est pas simple).
3. Montrer que ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ est d'ordre 24 et calculer l'ordre de $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$. En déduire que ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ n'est pas isomorphe à $S_4$.
4. Montrer que ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ est un produit semi-direct $N⋊H$ avec $N◃{\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ normal d'ordre 8 et $H$ d'ordre 3, que l'on précisera.