Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Suites arithmétique et géométrique

Suite (ou progression) arithmétique

Expression du terme général

Modèle:AlPar application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :

«$u_n=u_{n_0}+(n-n_0)r$».

Modèle:AlIl y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $\bullet$« si $n_0=0$» $($c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $0)$, «$u_n=u_0+nr$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« si $n_0=1$» $($c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $1)$, «$u_n=u_1+(n-1)r$».

Somme des premiers termes d'une suite arithmétique jusqu'au rang n

Modèle:AlSoit la « suite arithmétique

$(u_n)$

de 1^er terme

$u_{n_0}$

et de raison arithmétique

$r$

», on définit la « somme des 1^ers termes jusqu'au rang

$n$

» par

«$S_{[n_0,n]}=\sum _{p=n_0}^n{u}_p$» ;

Modèle:Alson expression se réécrit «

$S_{[n_0,n]}=\sum _{p=n_0}^n[u_{n_0}+(p-n_0)r]=(n-n_0+1)u_{n_0}+[\sum _{p=n_0}^n(p-n_0)]r$

» ou,
Modèle:AlModèle:Transparentavec la somme des

$(n-n_0)$

1^ers entiers naturels «

$\sum _{p=n_0}^n(p-n_0)=\frac{(n-n_0+1)(n-n_0)}{2}$

»,
Modèle:AlModèle:Transparent«

$S_{[n_0,n]}=(n-n_0+1)u_{n_0}+\frac{(n-n_0+1)(n-n_0)}{2}r$

» ou encore
Modèle:AlModèle:Transparent«

$S_{[n_0,n]}=(n-n_0+1)[u_{n_0}+(n-n_0)\frac{r}{2}]=(n-n_0+1)[\frac{u_{n_0}}{2}+\frac{u_{n_0}+(n-n_0)r}{2}]$

» soit finalement

«$S_{[n_0,n]}=(n-n_0+1)\frac{u_{n_0}+u_n}{2}$».

Suite (ou progression) géométrique

Expression du terme général

Modèle:AlPar application réitérée de la relation de récurrence on établit aisément l'expression du terme général :

«$u_n=u_{n_0}\times q^{(n-n_0)}$».

Modèle:AlIl y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $\bullet$« si $n_0=0$» $($c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $0)$, «$u_n=u_0{q}^n$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« si $n_0=1$» $($c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $1)$, «$u_n=u_1{q}^{(n-1)}$».

Somme des premiers termes d'une suite géométrique jusqu'au rang n

Modèle:AlSoit la « suite géométrique

$(u_n)$

de 1^er terme

$u_{n_0}$

et de raison géométrique

$q$

», on définit la « somme des 1^ers termes jusqu'au rang

$n$

» par

«$S_{[n_0,n]}=\sum _{p=n_0}^n{u}_p$» ;

Modèle:Alson expression se réécrit «$S_{[n_0,n]}=\sum _{p=n_0}^n\left[u_{n_0}{q}^{(p-n_0)}\right]=u_{n_0}\left[\sum _{p=n_0}^n{q}^{(p-n_0)}\right]$» ou,
Modèle:AlModèle:Transparentavec la somme des $n-n_0$ 1^ères puissances entières naturelles de $q$, «$\sum _{p=n_0}^n{q}^{(p-n_0)}=\frac{1-q^{(n-n_0+1)}}{1-q}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent«$S_{[n_0,n]}=u_{n_0}\frac{1-q^{(n-n_0+1)}}{1-q}$» ou encore «$S_{[n_0,n]}=\frac{u_{n_0}-q{u}_n}{1-q}$».

Suite arithmético-géométrique

Expression du terme général

Induction du terme général par développement des premiers termes

• 1^er terme $($ou terme de rang $n_0)$ : «$u_{n_0}$»,
• 2^ème terme $($ou terme de rang $n_0+1)$ : «$u_{n_0+1}=a{u}_{n_0}+b$»,
• 3^ème terme $($ou terme de rang $n_0+2)$ : «$u_{n_0+2}=a{u}_{n_0+1}+b=a(a{u}_{n_0}+b)+b$» soit «$u_{n_0+2}=a^2{u}_{n_0}+ab+b$»,
• 4^ème terme $($ou terme de rang $n_0+3)$ : «$u_{n_0+3}=a{u}_{n_0+2}+b=a(a^2{u}_{n_0}+ab+b)+b=a^3{u}_{n_0}+a^{2}b+ab+b$» soit «$u_{n_0+3}=a^3{u}_{n_0}+b(a^2+a+1)$»,
• 5^ème terme $($ou terme de rang $n_0+4)$ : «$u_{n_0+4}=a{u}_{n_0+3}+b=a(a^3{u}_{n_0}+a^{2}b+ab+b)+b=a^4{u}_{n_0}+a^{3}b+a^{2}b+ab+b$» soit «$u_{n_0+4}=a^4{u}_{n_0}+b(a^3+a^2+a+1)$»,
• $\dots$
• (n - n_0 + 1)^ème terme $($ou terme de rang $n)$ : dans tous les termes sauf le 1^er, $a$ apparaît en facteur, il est donc apparu $(n-n_0)$ fois dans le terme de rang $n$ d'où l'existence de «$a^{n-n_0}{u}_{n_0}$» et
  Modèle:Transparent$b$ apparaît à l'état brut dans le 2^nd, multiplié par $a$ dans le 3^ème $\cdots$
  Modèle:Transparentmultiplié par $a^{(n-n_0-1)}$ dans le $(n-n_0+1{)}^{\text{ème}}$
  Modèle:Transparentd'où l'existence de «$b\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{a}^k$» dans le terme de rang $n$ «$u_n=a^{n-n_0}{u}_{n_0}+b\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{a}^k$».

Validation par récurrence de l'expression du terme général

Modèle:AlSupposant que le terme de rang $n$ s'écrive «$u_n=a^{n-n_0}{u}_{n_0}+b\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{a}^k$» $($hypothèse de récurrence$)$,
Modèle:Alil nous faut montrer que le terme de rang $n+1$ s'obtient, à partir de l'expression précédente, en remplaçant $n$ par $n+1$ soit «$u_{n+1}=a^{n+1-n_0}{u}_{n_0}+b\sum _{k=0}^{n-n_0}{a}^k$» ;

Modèle:Alpour cela « on reporte $u_n=a^{n-n_0}{u}_{n_0}+b\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{a}^k$ dans la relation de récurrence $u_{n+1}=a{u}_n+b$» $\Rightarrow$ «$u_{n+1}=$ $a(a^{n-n_0}{u}_{n_0}+b\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{a}^k)+b=a^{n+1-n_0}{u}_{n_0}+ab\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{a}^k+b$» ou encore, le résultat attendu «$u_{n+1}=a^{n+1-n_0}{u}_{n_0}+b\sum _{k=0}^{n-n_0}{a}^k$» d'où la démonstration de cette expression par récurrence $($cette expression étant établie pour les $5$ 1^ers termes$)$.

L'expression du terme général est donc «$u_n=a^{n-n_0}{u}_{n_0}+b\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{a}^k$».

Modèle:AlIl y a deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme $\bullet$« si $n_0=0$» $($c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $0)$, «$u_n=a^n{u}_0+b\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« si $n_0=1$» $($c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $1)$, «$u_n=a^{n-1}{u}_1+b\sum _{k=0}^{n-2}{a}^k$».

Simplification de l'expression du terme général

Modèle:AlNous pouvons simplifier l'expression du terme général de la suite arithmético-géométrique
Modèle:AlModèle:Transparenten reconnaissant dans son 2^ème terme «$b\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{a}^k$» un 2^ème facteur «$\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{a}^k$» dont la simplification dépend de la valeur de $a$ :
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$« si $a\ne 1$», «$\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{a}^k$» étant la somme des $n-n_0$ 1^ers termes d'une progression géométrique
Modèle:AlModèle:Transparentde 1^er terme $1$ et de raison $a\ne 1$ $\Rightarrow$
Modèle:AlModèle:Transparent«$\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{a}^k=\frac{1-a^{n-n_0}}{1-a}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$« si $a=1$», «$\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{a}^k$ se réécrivant $\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{1}^k$ est égal à la somme de $1$ répété $(n-n_0)$ fois », soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$\sum _{k=0}^{n-n_0-1}{1}^k=n-n_0$»,

Modèle:Ald'où l'expression simplifiée du terme général $\bullet$« pour $a\ne 1$», «$u_n=a^{n-n_0}{u}_{n_0}+b\frac{1-a^{n-n_0}}{1-a}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« pour $a=1$», «$u_n=u_{n_0}+b(n-n_0)$».

Modèle:AlLe retour sur les deux cas particuliers $($dans le cas où $a\ne 1)$ dépendant du rang du 1^er terme conduit à $\bullet$« pour $n_0=0$» $($c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $0)$, «$u_n=a^n{u}_0+b\frac{1-a^n}{1-a}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« pour $n_0=1$» $($c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $1)$, «$u_n=a^{n-1}{u}_1+b\frac{1-a^{n-1}}{1-a}$».

Somme des premiers termes d'une suite arithmético-géométrique jusqu'au rang n

Modèle:AlSoit la « suite arithmético-géométrique $(u_n)$ de 1^er terme $u_{n_0}$, de constantes $a\ne 1$ et $b$ quelconque dans la relation affine de récurrence $u_{n+1}=a{u}_n+b$»,
Modèle:AlModèle:Transparenton définit la « somme des 1^ers termes jusqu'au rang $n$» par «$S_{[n_0,n]}=\sum _{p=n_0}^n{u}_p$» ;

Modèle:Alson expression se réécrit «$S_{[n_0,n]}=\sum _{p=n_0}^n[a^{p-n_0}{u}_{n_0}+b\frac{1-a^{p-n_0}}{1-a}]=u_{n_0}\left[\sum _{p=n_0}^n{a}^{(p-n_0)}\right]+\frac{b}{1-a}\left\{\sum _{p=n_0}^n[1-a^{(p-n_0)}]\right\}$» ou, après factorisation,
Modèle:AlModèle:Transparent«$S_{[n_0,n]}=[u_{n_0}-\frac{b}{1-a}]\left[\sum _{p=n_0}^n{a}^{(p-n_0)}\right]+\frac{b}{1-a}(n-n_0+1)$» ou, avec la somme des $n-n_0$ 1^ères puissances entières naturelles de $a$,
Modèle:AlModèle:Transparent«$\sum _{p=n_0}^n{a}^{(p-n_0)}=\frac{1-a^{(n-n_0+1)}}{1-a}$»,
Modèle:AlModèle:Transparent«$S_{[n_0,n]}=[u_{n_0}-\frac{b}{1-a}]\frac{1-a^{(n-n_0+1)}}{1-a}+\frac{b}{1-a}(n-n_0+1)$» ;

Modèle:Alle résultat précédent peut encore se réécrire en faisant apparaître les deux termes extrêmes de la somme c.-à-d. «$u_{n_0}$» et «$u_n=a^{n-n_0}{u}_{n_0}+b\frac{1-a^{n-n_0}}{1-a}$», en effet
Modèle:AlModèle:Transparent«$S_{[n_0,n]}=[u_{n_0}-\frac{b}{1-a}]\frac{1}{1-a}-a[u_{n_0}{a}^{(n-n_0)}-\frac{b}{1-a}{a}^{(n-n_0)}]\frac{1}{1-a}+\frac{b}{1-a}(n-n_0+1)$» ou,
Modèle:AlModèle:Transparent«$S_{[n_0,n]}=[u_{n_0}-\frac{b}{1-a}]\frac{1}{1-a}-a[u_n-\frac{b}{1-a}]\frac{1}{1-a}+\frac{b}{1-a}(n-n_0+1)$» ou, après factorisation partielle,
Modèle:AlModèle:Transparent«$S_{[n_0,n]}=\frac{u_{n_0}-a{u}_n}{1-a}-\frac{b}{(1-a{)}^2}(1-a)+\frac{b}{1-a}(n-n_0+1)=\frac{u_{n_0}-a{u}_n}{1-a}-\frac{b}{1-a}+\frac{b}{1-a}(n-n_0+1)$» soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$S_{[n_0,n]}=\frac{u_{n_0}-a{u}_n}{1-a}+\frac{b}{1-a}(n-n_0)$».

Modèle:AlLes deux cas particuliers dépendant du rang du 1^er terme donnent $\bullet$« si $n_0=0$» $($c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $0)$, «$S_{[0,n]}=\frac{u_0-a{u}_n}{1-a}+\frac{b}{1-a}n$
Modèle:AlModèle:Transparent$=[u_0-\frac{b}{1-a}]\frac{1-a^{(n+1)}}{1-a}+\frac{b}{1-a}(n+1)$»,
Modèle:AlModèle:Transparent$\bullet$« si $n_0=1$» $($c.-à-d. si le 1^er terme est de rang $1)$, «$S_{[1,n]}=\frac{u_1-a{u}_n}{1-a}+\frac{b}{1-a}(n-1)$
Modèle:AlModèle:Transparent$=[u_1-\frac{b}{1-a}]\frac{1-a^n}{1-a}+\frac{b}{1-a}n$».