Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale

Corde excitée de façon sinusoïdale

Modèle:AlL'extrémité $S$ d'une corde élastique maintenue horizontale en sa position de repos est reliée à un vibreur qui lui impose un mouvement oscillatoire vertical sinusoïdal de fréquence «$f=100Hz$» et d'amplitude «$Y_m$».

Modèle:AlChaque point $M$ de la corde est balisé par son abscisse horizontale «$x$» et son élongation verticale ascendante «$y$» dans le repère $(Oxyz)$, $O$ désignant la position d'équilibre de $S$ et $Ox$ étant orienté de $O$ vers l'autre extrémité de la corde.

Modèle:AlLe mouvement de $S$ débute à l'instant $t=0$.

Modèle:AlUn dispositif amortisseur placé à l'autre extrémité de la corde empêche la réflexion de l'onde issue de $S$.

Explicitation de l'équation horaire de S connaissant son mouvement

Modèle:AlSachant qu'à l'instant $t=0$, $S$ passe par sa position d'équilibre avec une vitesse «${\overrightarrow{V}}_0$ verticale ascendante de norme $V_0=2,5m\cdot s^{-1}$», expliciter l'équation horaire du mouvement de $S$, notée Modèle:Nobr en précisant les valeurs numériques de tous les paramètres.

Détermination de la longueur d'onde et de la célérité des ondes connaissant la plus courte distance de points de la corde vibrant en opposition de phase

Modèle:AlLa plus petite distance entre deux points de la corde vibrant en opposition de phase étant «$d=6,0cm$», en déduire

• la longueur d'onde «$\lambda$» des ondes le long de la corde ainsi que
• la célérité «$c$» de propagation des ondes le long de cette corde.

Comparaison du mouvement d'un point M₁ d'abscisse fixée à celui du point S lié au vibreur

Modèle:AlOn considère maintenant un point $M_1$ de la corde, d'abscisse «$x_1=21cm$».

• Préciser son équation horaire «$y_{M_1}(t)$», en particulier déterminer la valeur numérique de son retard temporel par rapport à $S$ ;
• Comparer les mouvements des points $S$ et $M_1$ $($on calculera, en particulier, les élongations des points $S$ et $M_1$ à l'instant de date «$t_1=40ms$»$)$.

Détermination de l'aspect de la corde à un instant t₁ fixé

Modèle:AlOn étudie maintenant la corde globalement à l'instant «$t_1=40ms$».

• Préciser la fonction «$y_{t_1}(x)$» décrivant l'élongation le long de la corde à cet instant «$t_1=40ms$», en particulier déterminer la valeur numérique de sa période spatiale ;
• représenter précisément l'aspect de la corde à cet instant «$t_1=40ms$».

Effet Doppler

Modèle:AlUne onde sinusoïdale de fréquence $f$ se propage dans la direction $(Ox)$ dans le sens des $x\nearrow$ avec la célérité $c$ ;
Modèle:Alun observateur $O^{\prime }$ se déplace à la vitesse $\overrightarrow{V}=V{\overrightarrow{u}}_x$ où ${\overrightarrow{u}}_x$ est le vecteur unitaire de l'axe $(Ox)$ dans le sens des $x\nearrow$.

Explicitation du signal au point d'abscisse x et à l'instant t

Modèle:AlExpliciter le signal $s(x,t)$ associé à l'onde sinusoïdale au point $M$ d'abscisse $x$ et à l'instant $t$, on définira toutes les notations nécessaires.

Réécriture du signal au point d'abscisse x' (repéré par rapport à l'observateur) et à l'instant t

Modèle:AlPour l'observateur $O^{\prime }$ en mouvement, le point $M$ est repéré par une abscisse $x^{\prime }$ le long de l'axe $(O^{\prime }x)$ en translation uniforme relativement à l'axe $(Ox)$ de vecteur vitesse $\overrightarrow{V}=V{\overrightarrow{u}}_x$ ;
Modèle:Alexpliciter $x^{\prime }$ en fonction de l'abscisse $x$ du point $M$ relativement à l'axe $(Ox)$, $V$ et $t$ puis

Modèle:Alréécrire l'expression du signal $s(x^{\prime },t)$ au point $M$ d'abscisse $x^{\prime }$ repérée relativement à l'axe $(O^{\prime }x)$ et à l'instant $t$.

Expression de la fréquence du signal définie par rapport à l'observateur en mouvement

Modèle:AlDe l'expression de $s(x^{\prime },t)$ en déduire l'expression de la fréquence $f^{\prime }$ pour l'observateur en mouvement.

Modèle:AlComparer $f^{\prime }$ et $f$ suivant le signe de $V$.

Application à un exemple de la vie courante

Modèle:AlVous marchez dans la rue et un camion de pompiers, sirène en marche, arrive de derrière et vous dépasse. Qu'entendez-vous ?

Mesure de distance et de vitesse par radar

Modèle:AlUn « radar » est un appareil utilisant des ondes « radio » pour détecter la présence d'objets mobiles, et pouvant également déterminer leur distance et leur vitesse.

Modèle:AlOn présente ici le principe de ces deux mesures.

Modèle:AlLe « radar » comporte une antenne qui émet, avec une période $T$, des impulsions, c'est-à-dire des signaux sinusoïdaux de « durée limitée $\tau$», la durée des impulsions $\tau$ étant petite relativement à la période $T$ de leur émission $($mais toutefois $\tau \ll ̸T)$.

Modèle:AlCes impulsions sont envoyées dans toutes les directions de l'espace.
Modèle:AlLorsque l'une d'elles rencontre un objet réfléchissant, elle est renvoyée vers l'antenne, laquelle est réceptrice entre deux émissions $($l'antenne ne pouvant être simultanément émettrice et réceptrice$)$.

Modèle:AlCela fait alors apparaître un point lumineux sur l'écran, indiquant la direction de la cible, et l'analyse du signal reçu permet d'effectuer les mesures souhaitées.

Étude de trois échos renvoyés par des objets mobiles sur un même intervalle de non émission de l'antenne

Modèle:AlUn « radar » émet des impulsions de fréquence «$f=2,90GHz$» et de durée «$\tau =1,0\mu s$», avec une période d'émission «$T=100,0\mu s$».

Modèle:AlOn considère un 1^er enregistrement entre deux impulsions successives émises par le « radar », la 1^ère impulsion débutant à l'instant «$t_0=0,0\mu s$» et la 2^nde à l'instant «$t_1=100,0\mu s$» ;
Modèle:Alon y observe trois échos renvoyés par des objets, $\succ$le début du 1^er écho commençant à l'instant «$t_A=3,0\mu s$» $($l'amplitude de l'écho étant plus faible que celle de chaque impulsion incidente$)$,
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$le début du 2^ème écho d'amplitude plus faible que celle du précédent à l'instant «$t_B=80,0\mu s$» et
Modèle:AlModèle:Transparent$\succ$le début du 3^ème écho d'amplitude encore plus faible que celle du précédent à l'instant «$t_C=90,0\mu s$».

Longueur d'onde des ondes émises pendant une impulsion et nombre d'oscillations dans chaque impulsion

Modèle:AlCalculer la longueur d'onde $\lambda$ des ondes émises pendant une impulsion sachant que la célérité des ondes radio dans l'air vaut «$c=3,0010^{8}m\cdot s^{-1}$» et

Modèle:AlModèle:Transparentle nombre $N$ d'oscillations dans chaque impulsion.

Détermination de la distance à laquelle se trouvent les divers objets détectés par écho

Modèle:AlDéterminer la distance à laquelle se trouve chaque objet détecté par l'un des trois échos $($les ondes radio réfléchies se propageant à la même célérité que les ondes incidentes «$c=3,0010^{8}m\cdot s^{-1}$»$)$ ;

Modèle:Alproposer une explication à la différence d'amplitude entre les impulsions incidentes et les échos ainsi qu'à
Modèle:AlModèle:Transparentla différence d'amplitude entre chaque écho.

Détermination des distances extrémales séparant un objet du radar en dessous et au-dessus de laquelle l'objet ne peut pas être détecté sur l'enregistrement étudié

Modèle:AlMontrer qu'il existe une distance minimale séparant un objet du « radar » en dessous de laquelle on ne peut pas détecter un objet $\{$on calculera sa valeur numérique$\}$ et

Modèle:AlModèle:Transparentune distance maximale séparant un objet du « radar » au-dessus de laquelle on ne peut pas détecter un objet sur l'enregistrement étudié $\{$on calculera aussi sa valeur numérique$\}$.

1^ère méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation de l'effet Doppler

Modèle:AlPour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », une 1^ère possibilité consiste à utiliser l'effet Doppler à savoir
Modèle:AlModèle:Transparentdans la mesure où l'objet « s'éloigne du “ radar ” avec une vitesse $V$»
Modèle:AlModèle:Transparentles oscillations de l'écho ont une fréquence $<$ à celle des oscillations de l'impulsion incidente selon «$f_{\text{écho}}=f(1-\frac{V}{c})$» ou
Modèle:AlModèle:Transparentdans la mesure où l'objet « se rapproche du “ radar ” avec une vitesse $V$»
Modèle:AlModèle:Transparentles oscillations de l'écho ont une fréquence $>$ à celle des oscillations de l'impulsion incidente selon «$f_{\text{écho}}=f(1+\frac{V}{c})$».

Modèle:AlRappeler la raison du décalage en fréquence puis

Modèle:Aldéterminer la variation relative de fréquence pour un avion s'éloignant à la vitesse $V=150m\cdot s^{-1}$ et

Modèle:Alconclure sur la précision de cette méthode.

2^ème méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation du décalage temporel des échos de deux impulsions successives renvoyés par l'objet

Modèle:AlPour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », une 2^ème possibilité consiste à utiliser l'écho de deux impulsions successives renvoyé par le même objet mobile,
Modèle:AlModèle:Transparenten mesurant simplement le décalage temporel entre ces échos.

Modèle:AlCalculer le décalage temporel entre les échos de deux impulsions successives renvoyés par l'avion précédent s'éloignant à la vitesse $V=150m\cdot s^{-1}$ et
Modèle:Alcommenter.

3^ème méthode de détermination de la vitesse d'un objet par utilisation du déphasage des échos de deux impulsions successives en phase renvoyés par l'objet

Modèle:AlPour déterminer la vitesse d'un objet à l'aide d'un « radar », une 3^ème possibilité consiste à utiliser l'écho de deux impulsions successives en phase renvoyé par le même objet mobile,
Modèle:AlModèle:Transparenten mesurant simplement le déphasage entre ces échos.

Modèle:AlExprimer ce déphasage entre les échos de deux impulsions successives en phase, renvoyés par un objet s'éloignant du « radar » à une vitesse $V$, en fonction de $V$, de la durée $T$ entre les impulsions et de la longueur d'onde $\lambda$ des oscillations ;

Modèle:Alcalculer ce déphasage dans le cas de l'avion précédent s'éloignant à la vitesse $V=150m\cdot s^{-1}$ et
Modèle:Alcommenter.

Détermination de la vitesse d'éloignement (ou d'approche) d'un objet ne se déplaçant pas le long de la ligne de visée

Modèle:AlUn objet ne se déplaçant pas le long de la ligne de visée de l'antenne du “ radar ” a une « vitesse d'éloignement $($ou d'approche$)$» décomposable en

• une vitesse longitudinale $V_{\text{longitudinale}}$ déterminable par l'une des trois méthodes exposées précédemment et
• une vitesse transversale $V_{\text{transversale}}$ inéligible à l'utilisation de l'une des trois méthodes exposées précédemment.

Modèle:AlProposer un moyen de déterminer cette composante transversale de la « vitesse d'éloignement $($ou d'approche$)$» $\{$on pensera à utiliser la détermination des positions de l'objet lors d'envoi successif d'impulsions$\}$ ;

Modèle:Alen déduire la détermination de la norme de la « vitesse d'éloignement $($ou d'approche$)$» $V$ de l'objet.

Célérité des ondes sismiques

Modélisation des interactions entre atomes par un ressort de raideur $k$ et de longueur à vide nulle

Modèle:AlOn modélise un matériau solide à l'échelle microscopique par une chaîne d'atomes infinie $($voir figure ci-contre$)$.

Modèle:AlLes atomes sont assimilés à des points matériels de même masse $m$, reliés par des ressorts identiques de longueur à vide nulle et de raideur $k$, susceptibles de se déplacer sans frottements le long de l'axe $(Ox)$.
Modèle:AlCes ressorts fictifs modélisent, dans l'approximation linéaire, les actions subies par les atomes lorsqu'ils se déplacent au voisinage de leur position d'équilibre d'abscisse $x_n^0=na$ sous l'action d'une perturbation liée à l'arrivée d'une onde sismique.
Modèle:AlOn repère les positions des atomes hors d'équilibre par leurs abscisses $x_n(t)=x_n^0+{\xi }_n(t)$ où leurs déplacements ${\xi }_n(t)$ sont supposés faibles devant $a$.

Équation différentielle du mouvement du n^ème atome

Modèle:AlÉtablir l'équation différentielle en ${\xi }_n(t)$ du mouvement de l'atome $(n)$,
Modèle:Alla mettre sous la forme «${\ddot{\xi }}_n(t)={\omega }_0^2[{\xi }_{n+1}(t)+{\xi }_{n-1}(t)-2{\xi }_n(t)]$» et

Modèle:Alexprimer ${\omega }_0$ en fonction des données ;

Modèle:Alquelle est sa signification concrète ?

Condition pour qu'une onde sismique soit solution de l'équation différentielle précédente

Modèle:AlUne onde sismique harmonique de pulsation $\omega$ étant décrite par une solution de la forme «${\xi }_n(t)=A\sin (\omega t-\alpha x_n^0)$» où $A$ et $\alpha$ sont des constantes,
Modèle:Alvérifier qu'une telle solution n'est possible que « si $\frac{\omega }{{\omega }_0}$ et $\alpha a$ sont reliés par une condition $(C)$» .

Simplification de la condition (C) dans l'approximation des milieux continus

Modèle:AlOn se place maintenant dans l'approximation des milieux continus ce qui correspond dans le cas présent à
Modèle:AlModèle:Transparentl'hypothèse dans laquelle « la distance $a$ séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre est considérée comme petite pour l'onde sismique la traversant » soit
Modèle:AlModèle:Transparent«$a\ll \frac{1}{|\alpha |}\iff |\alpha |a\ll 1$» ;

Modèle:AlModèle:Transparenten déduire que la condition $(C)$ se simplifie en «$\frac{\omega }{{\omega }_0}=|\alpha |a$».

Modèle:AlDans toute la suite, on admet que «$\frac{\omega }{|\alpha |}$ est la célérité $c$ des ondes sismiques ».

Évaluation de l'ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques dans le fer

Modèle:AlOn cherche à évaluer un ordre de grandeur de la célérité de propagation des ondes sismiques $c_{Fe}$ dans le fer et pour cela,
Modèle:AlModèle:Transparenton donne la « masse molaire atomique du Fer $M_{Fe}=56g\cdot mo{l}^{-1}$» ainsi que « sa masse volumique ${\mu }_{Fe}=7,9l{0}^{3}kg\cdot m^{-3}$» et
Modèle:AlModèle:Transparenton rappelle les valeurs suivantes : « un électronvolt $=1eV=1,610^{-19}J$» et la « constante d'Avogadro $𝒩=$ $6,0210^{23}mo{l}^{-1}$».

Modèle:AlCalculer la distance $a$ séparant deux atomes successifs dans leurs positions d'équilibre en admettant que le volume moyen occupé par un atome est $a^3$.

Modèle:AlRappeler, sans démonstration, l'expression de l'énergie potentielle associée à un ressort de raideur $k$ et d'allongement $a$ ;

Modèle:AlModèle:Transparenten identifiant cette énergie à l'énergie de liaison par atome supposée égale à $2eV$, calculer $k$ ;

Modèle:AlModèle:Transparenten déduire un ordre de grandeur de $c_{Fe}$ et

Modèle:AlModèle:Transparentcommenter.