Arithmétique/Exercices/Théorème de Bézout

Exercice 6-1

1° En utilisant l'algorithme d'Euclide, trouver une solution de l'équation :

$17x+31y=1$.

2° En déduire toutes les solutions de l'équation :

$17x+31y=1$.

Résoudre de même dans $\mathbb{Z}$ :

$36x-415y=1$.

Exercice 6-2

Résoudre l'équation :

$3675x-5145y=4410$.

Exercice 6-3

Résoudre l'équation : $12x-21y=16$. Modèle:Solution

Exercice 6-4

Trouvez tous les nombres dont le reste de la division par 13 est 1 et dont le reste de la division par 7 est 6. Modèle:Solution Trouver de même :

1. tous les nombres dont le reste de la division par 4 est 3 et dont le reste de la division par 7 est 4 ;
2. tous les nombres dont le reste de la division par 6 est 4 et dont le reste de la division par 15 est 8 ;
3. tous les nombres dont le reste de la division par 4 est 1 et dont le reste de la division par 7 est 4 ;
4. tous les nombres dont le reste de la division par 5 est 4, dont le reste de la division par 6 est 3 et dont le reste de la division par 7 est 2.

Exercice 6-5

Résoudre dans ${\mathbb{Z}}^3$ : $35x+55y+77z=1$. $\mathrm{pgcd}(35,55)=5=55\times 2-35\times 3$ et $\mathrm{pgcd}(5,77)=1=5\times 31-77\times 2$ donc Modèle:Solution