Arithmétique/Exercices/PPCM et PGCD

Exercice 4-1

Pour chacun des couples d'entiers (a, b) suivants, trouver leur PPCM.

1. a = 24 ; b = 56.
2. a = 180 ; b = 450.
3. a = 308 ; b = 4004.
4. a = 120 ; b = 300.
5. a = 72 ; b = 108.
6. a = 175 ; b = 490.

Exercice 4-2

Pour chacun des couples d'entiers (a, b) suivants, trouver leur PGCD et déduisez-en leur PPCM.

1. a = 24 ; b = 56.
2. a = 300 ; b = 750.
3. a = 1386 ; b = 546.

Exercice 4-3

Le PPCM de deux nombres est 216. L'un des deux nombres est 72. Quel est l'autre ? Modèle:Solution

Exercice 4-4

Quel est le plus petit entier strictement supérieur à 40 qui, divisé par 140 et par 252, donne 40 comme reste ? Modèle:Solution

Exercice 4-5

1° Trouvez tous les diviseurs naturels de 108.

2° Trouvez tous les couples (x, y) d'entiers naturels dont le PGCD d et le PPCM m sont tels que m – 3d = 108, avec 10 < d < 15. Modèle:Solution

Exercice 4-6

Résolvez dans ℕ², les systèmes :

a) $\{\begin{array}{c}xy=16128\\ \mathrm{pgcd}(x,y)=24\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}xy=1734\\ \mathrm{pgcd}(x,y)=17\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}xy=439230\\ \mathrm{pgcd}(x,y)=121\end{array}$ Modèle:Solution

Exercice 4-7

x et y sont deux entiers naturels, m est leur PPCM, d leur PGCD, et l'on note a et b les entiers tels que x = ad et y = bd.

1. Démontrer que a + b et ab sont premiers entre eux.
2. Déduisez-en que pgcd(x + y, m) = d.

Exercice 4-8

Résolvez, dans ℕ², les systèmes :

a) $\{\begin{array}{c}xy=1512\\ \mathrm{ppcm}(x,y)=252\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}xy=300\\ \mathrm{ppcm}(x,y)=60\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}x+y=276\\ \mathrm{ppcm}(x,y)=1440\end{array}$ Modèle:Solution

Exercice 4-9

Trouver deux entiers positifs x et y sachant que leur PGCD est 24 et que leur PPCM est 1344. Modèle:Solution

Exercice 4-10

a et b sont deux entiers tels que a > b > 0 ; g est leur PGCD et m leur PPCM.

1°  Pour cette question, a = n(2n – 1) et b = (n – 1)(2n – 1), avec n entier positif. Déterminez alors g et m.

2°  Soient p et q premiers entre eux tels que p > q > 0. Exprimer, en fonction de p et q, les nombres a et b tels que m(a + b) = abg [1], p = a/g et q = b/g.

3°  Parmi les nombres a et b qui satisfont à la relation [1], trouver ceux qui satisfont à g = a – b [2].

4°  Démontrer que les couples (a, b) qui satisfont à la fois à [1] et à [2], sont tels que (a – b)² = a + b [3].

5°  Soit un entier r > 0. Calculer en fonction de r (lorsqu'il en existe) les solutions (a, b) de [3] pour lesquelles r est le reste de la division de a par b, et préciser la valeur de g correspondante.

6°  Même question pour r = 0. Modèle:Solution

Exercice 4-11

Pour $n\in \mathbb{N}$, soit $D_n$ le PGCD des deux entiers $n^2+100$ et $(n+1{)}^2+100$.

1. Démontrer que $D_n=\mathrm{pgcd}(2n+1,n^2+100)$.
2. En déduire que $D_n=\mathrm{pgcd}(2n+1,n^2+100,2(n^2+100)-(2n+1)n)$.
3. En déduire que $D_n=\mathrm{pgcd}(401,n-200)$.
4. En déduire les deux valeurs possibles de $D_n$.

Exercice 4-12

Trouvez deux entiers positifs a et b tels que a² + b² = 5409 et PPCM(a, b) = 360. Modèle:Solution

Exercice 4-13

Déterminer tous les triplets $(a,b,c)\in ({\mathbb{N}}^{*}{)}^3$ vérifiant :

$\{\begin{array}{cc}\mathrm{ppcm}(a,b)& =42\\ \mathrm{pgcd}(a,c)& =3\\ a+b+c& =29\end{array}$

Liens externes

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