Calcul avec les nombres complexes/Devoir/Étude d'une fonction rationnelle

— Ⅰ —

Soit $f$ la fonction numérique d'une variable réelle définie par :

$f(x)=\frac{x^4-6x^2+1}{x^3-x}$

et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1°  a)  Démontrer qu'il existe $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ constantes réelles, telles que pour tout $x$ de l'ensemble de définition de $f$ :

$f(x)=x-\frac{\alpha }{x}-\frac{\beta }{x-1}-\frac{\gamma }{x+1}$.

b)  Étudier les variations de $f$. Déterminer les asymptotes de $𝒞$ et son centre de symétrie. Résoudre les équations $f(x)=0$ et $f(x)=x$. Tracer la courbe $𝒞$.

2°  Soit $P_a$ la fonction polynomiale définie par :

$P_a(x)=x^4-a{x}^3-6x^2+ax+1$.

En utilisant les résultats sur la variation de $f$, vérifier que pour tout réel $a$, l'équation $P_a(x)=0$ admet quatre solutions réelles distinctes.

— Ⅱ —

Soit $\phi$ l'application de $ℂ\setminus \{1\}$ dans $ℂ$ définie par :

$\phi (z)=Z,Z=\frac{1+z}{1-z}$.

Soient m le point d'affixe $z$, M le point d'affixe $Z$, A et A' les points d'affixes respectives $1$ et $-1$, $z=x+\mathrm{i}y$ et $Z=X+\mathrm{i}Y$ avec $x,y,X,Y$ réels.

1°  a)  Exprimer $X$ et $Y$ en fonction de $x$ et $y$.

b)  Déterminer l'ensemble des points m tels que $Z$ soit réel.

c)  Déterminer l'ensemble des points m tels que $Z$ soit imaginaire pur.

2°  a)  Préciser les distances représentées par $|1-z|$ et $|1+z|$. Déterminer l'ensemble des points m tels que $|Z|=1$.

b)  Soit $k$ réel strictement positif différent de $1$. Démontrer que l'ensemble $C_k$ des points m tels que $|Z|=k$ est un cercle. En déterminer le centre et le rayon.

— Ⅲ —

Soient $z_0\in ℂ\setminus \{-1,0,1\}$, $z_1=\phi (z_0)$, $z_2=\phi (z_1)$, $z_3=\phi (z_2)$ et $z_4=\phi (z_3)$.

1°  a)  Exprimer $z_1$, $z_2$, $z_3$ et $z_4$ en fonction de $z_0$. Étudier les cas particuliers $z_0=\mathrm{i}$ et $z_0=-\mathrm{i}$.

b)  Calculer $z_0{z}_2$, $z_1{z}_3$ et $(z_0+z_2)(z_1+z_3)$.

2° Soit $a=z_0+z_1+z_2+z_3$. Développer, réduire et ordonner $(z-z_0)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)$. Exprimer le résultat en fonction de $z$ et $a$.

3° Pour $n\in \{0,1,2,3\}$, soit $z_n=x_n+y_n\mathrm{i}$ où $x_n$ et $y_n$ sont réels. En utilisant Ⅱ 1°a), démontrer que les $y_n$ sont tous de même signe.

Que peut-on dire de $z_0,z_1,z_2,z_3$ si $a$ est réel ?

Quel résultat du Ⅰ retrouve-t-on ainsi ?