Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les racines n-ièmes

Exercice 5-1

Déterminer les racines carrées de :

a)  $8-6\mathrm{i}$ ;

b)  $1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ ;

c)  $20-21\mathrm{i}$ ;

d)  $\frac{2\mathrm{i}-1}{\mathrm{i}+2}$. Modèle:Solution

Exercice 5-2

Déterminer les racines cubiques de $\frac{\mathrm{i}+\sqrt{3}}{\mathrm{i}-\sqrt{3}}$. Modèle:Solution

Exercice 5-3

Déterminer les racines quatrièmes de :

a)  $-7-24\mathrm{i}$ ;

b)  $-7+24\mathrm{i}$ ;

c)  $8(1-\mathrm{i}\sqrt{3})$. Modèle:Solution

Exercice 5-4

Déterminer les racines cinquièmes de $\frac{9\sqrt{3}}{2}(1-\mathrm{i}\sqrt{3})$. Modèle:Solution

Exercice 5-5

Déterminer les racines huitièmes de $\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{3}-\mathrm{i}}$. Modèle:Solution

Exercice 5-6

Soit $n$ entier naturel fixé. Résoudre dans $ℂ$ :

$z^3=\mathrm{i}$ et $z^n=\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}$.

Montrer que ces deux équations n'ont pas de solution commune. Modèle:Solution

Exercice 5-7

Calculer ${(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\sqrt{3})}^4$ et en déduire les racines quatrièmes de $\frac{73}{16}-\frac{11\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$. Modèle:Solution

Exercice 5-8

Soit $Z=\frac{4}{-1+\mathrm{i}}$. Dire sans calcul combien l'équation $z^3=Z$ a de solutions dans $ℂ$.

Les calculer et montrer qu'une seule d'entre elles a une puissance quatrième réelle. Modèle:Solution