Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les applications géométriques

Exercice 7-1

1°  Étant donnés les points M₁, M₂, M₃ d'affixes $z_1$, $z_2$, $z_3$, montrer que les trois points sont alignés si, et seulement si :

$z_1{\overline{z}}_2+z_2{\overline{z}}_3+z_3{\overline{z}}_1={\overline{z}}_1{z}_2+{\overline{z}}_2{z}_3+{\overline{z}}_3{z}_1$.

2°  Étant donnés les complexes distincts a et b de module 1, soient A et B leurs images respectives. Montrer qu'un point M d'affixe $z$ appartient à la droite (AB) si, et seulement si :

$z+ab\overline{z}=a+b$.

3°  Soient a, b, c, d des nombres complexes de module 1 tels que $a\ne b$ et $c\ne d$, d'images respectives A, B, C, D. Montrer que les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si, et seulement si :

$ab=-cd$.

Exercice 7-2

Soit l'équation :

$z^3+(2\sqrt{3}-3\mathrm{i})z^2+(1-4\mathrm{i}\sqrt{3})z-10\sqrt{3}+21\mathrm{i}=0$.

Démontrer que le triangle des images des solutions de cette équation est, dans le plan complexe, équilatéral. Modèle:Solution

Exercice 7-3

Soient A et B deux points du plan complexe et soient $a$ et $b$ leurs affixes respectives.

Montrer que A et B sont sur la même demi-droite d'origine O (d'affixe $0$) si et seulement si :

$|a+b|=|a|+|b|$.

Exercice 7-4

Soit l'équation :

$z^2-(3+4\mathrm{i})z-(1-5\mathrm{i})=0$.

Soient A, B, les images des solutions. Déterminez C tel que le triangle (A, B, C) soit équilatéral. Modèle:Solution

Exercice 7-5

Soient deux points A et B deux points d'affixes respectives $a$ et $b$ non nulles. O est le point d'affixe $0$.

1°  Montrer que les droites (OA) et (OB) sont perpendiculaires si, et seulement si, $\overline{a}b$ est imaginaire pur.

2°  Montrer que les points O, A, B sont alignés si, et seulement si, $\overline{a}b$ est réel. Modèle:Solution

Exercice 7-6

Soient A, B, C, D quatre points du plan complexe, d'affixes respectives $a,b,c,d$.

1°  Montrer que le quadrilatère (A, B, C, D) est un carré si, et seulement si :

$b-a=c-d$ et $d-b=\pm \mathrm{i}(c-a)$.

2°  Montrer qu'alors, l'affixe $z_0$ du point I, intersection de (AC) et (BD), vérifie :

$(a-z_0{)}^4=(b-z_0{)}^4=(c-z_0{)}^4=(d-z_0{)}^4$.

3°  Construire le carré dans le cas où $z_0=1+\mathrm{i}$ et $a+b=0$.

Déterminer les affixes $a,b,c,d$ dans ce cas.

Exercice 7-7

Soit $\theta$ un nombre réel appartenant à $[0,2\pi [$.

1°  Résoudre dans $ℂ$ l'équation d'inconnue $z$ :

$z^2-(2^{\theta +1}\cos \theta )z+2^{2\theta }=0$

Donner chaque solution sous forme trigonométrique.

2°  Le plan étant rapporté à un repère orthonormal d'origine O, on considère les points A et B dont les affixes sont les solutions de l'équation précédente.

Déterminer $\theta$ de manière que le triangle OAB soit équilatéral.