Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur les modules et arguments

Exercice 1-1

Calculer les modules des nombres complexes suivants :

a)  $3+4\mathrm{i}$ ;

b)   $\sqrt{2}+\mathrm{i}$ ;

c)   $\sqrt{7}-\mathrm{i}\sqrt{2}$ ;

d)   $5\sqrt{2}-7\mathrm{i}$ ;

e)   $2\sqrt{5}+\mathrm{i}\sqrt{5}$. Modèle:Solution

Exercice 1-2

Calculer les arguments des nombres complexes suivants :

a)   $\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$ ;

b)   $\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\mathrm{i}\sqrt{2}}{2}$ ;

c)   $1+\mathrm{i}\sqrt{3}$ ;

d)   $1-\mathrm{i}$ ;

e)   $\sqrt{3}-\mathrm{i}$ ;

f)   $-7\mathrm{i}$ ;

g)   $2+3\mathrm{i}$ ;

h)   $\sqrt{3}-3\mathrm{i}$.

Exercice 1-3

Mettre les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique :

a)   $1+\mathrm{i}$ ;

b)   $\sqrt{3}+\mathrm{i}$ ;

c)   $\sqrt{3}+3\mathrm{i}$ ;

d)   $\frac{1-\mathrm{i}}{2}$ ;

e)   $-\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}$ ;

f)   $5\mathrm{i}$ ;

g)   $-2$. Modèle:Solution

Exercice 1-4

Démontrer que, si $\lambda$ est réel, le nombre complexe

$\frac{1+\lambda \mathrm{i}}{1-\lambda \mathrm{i}}$

a pour module 1.

Étudier la réciproque. Modèle:Solution

Exercice 1-5

Calculer ${\left(\frac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{1+\mathrm{i}}\right)}^{30}$. Modèle:Solution

Exercice 1-6

Calculer $\frac{{(1-\mathrm{i})}^5-1}{{(1+\mathrm{i})}^5+1}$. Modèle:Solution

Exercice 1-7

Calculer les modules et les arguments des nombres complexes suivants :

• $z_1=\sqrt{3}+\mathrm{i}$ ;
• $z_2=2\mathrm{i}+z_1$ ;
• $z_3=\frac{z_2}{z_1}$.

Exercice 1-8

Calculer le module et l'argument de :

$z=\frac{1}{1+\mathrm{i}\tan \alpha }$

lorsque $\alpha \equiv ̸\frac{\pi }{2}mod\pi$. Modèle:Solution

Exercice 1-10

Donner les parties réelle et imaginaire puis le module et l'argument de

${\left(\frac{1+\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}\right)}^2+\frac{1-7\mathrm{i}}{4+3\mathrm{i}}$.

Modèle:Encart Modèle:Bas de page