Fonction gaussienne

Introduction

Une fonction gaussienne est une fonction exponentielle particulière dont la représentation graphique est une courbe en cloche. La fonction incluse dans l'exponentielle est l'opposé du carré de l'abscisse (la variable $x$). Les fonctions gaussiennes sont toutes définies et continues sur l'ensemble des réels $ℝ$. Ces fonctions sont le plus souvent utilisées en statistiques et en probabilités, pour représenter des lois de densité, des distribution de séries etc. L'exemple le plus connu qui fait appel à une fonction gaussienne est la densité de probabilité de la loi normale.

Définition et étude de la fonction gaussienne

La fonction gaussienne la plus simple est définie par : $f(x)=e^{-x^2}$

Il s'agit de la fonction qui à tout réel $x$ associe l'exponentielle de l'opposé du carré de $x$.

La dérivée de la fonction gaussienne est définie par : $f^{\prime }(x)=-2x{e}^{-x^2}$

Le domaine de dérivabilité de la fonction est ${\mathrm{\Delta }}_f=ℝ$

La dérivée est strictement positive pour tout $x<0$, nulle pour $x=0$ et strictement négative pour tout $x>0$.

La fonction gaussienne est donc strictement croissante pour tout $x<0$, constante pour $x=0$ et strictement décroissante pour tout $x>0$.

La représentation graphique de la fonction gaussienne est la suivante :

Représentation graphique de la fonction gaussienne d'équation $f(x)=e^{-x^2}$

La courbe en cloche est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées d'équation $x=0$.

La fonction $f$ est donc paire.

La fonction atteint son maximum en $x=0$ : $f(0)=1$

Les limites aux bornes de définition de la fonction sont les suivantes : $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0$

Pour calculer une intégrale définie de la fonction (aire entre la courbe verte et l'axe des abscisses, délimitée par deux bornes $x_0$ et $x_1$), il faut utiliser la fonction erreur, aussi appelée fonction d'erreur de Gauss.

La fonction d'erreur est définie par : $erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt$

La première borne d'intégration est $x_0=0$

La deuxième borne d'intégration $x_1$ est donc comprise entre $x_0$ et $+\mathrm{\infty }$

La formule de l'intégrale indéfinie de la fonction gaussienne est : $\int f(x)dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}erf(x)$

Le développement limité (série de Taylor) de la fonction gaussienne est : $e^{-x^2}=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{n!}$