Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la géométrie

Modèle:Chapitre Nous avons vu que, dans le plan complexe, chaque point a une affixe qui est un nombre complexe. L’idée que l’on va analyser et développer dans ce chapitre est la suivante : peut-on remplacer des raisonnements géométriques par des calculs algébriques sur les nombres complexes ? Nous verrons que bien des propriétés dans des figures peuvent se remplacer par une relation entre les affixes des points constituant la figure. Il est alors possible, par un simple calcul, de montrer qu'un triangle est rectangle ou équilatéral.

Conjugué d'un nombre complexe

Le point M ayant pour coordonnées (a, b), son symétrique M' aura pour coordonnées (a, -b).

Par conséquent, en passant aux affixes, nous voyons que si l'écriture algébrique de l'affixe du point M est a + ib, alors l'écriture algébrique de l'affixe de M' sera a - ib.

Nous en déduisons immédiatement :

De ce qui précède, nous déduisons aussi :

Nous voyons aussi que la distance du point M' à l'origine est la même que celle du point M à l'origine ; par conséquent, le module du conjugué de m est le même que le module de m.

En ce qui concerne l'angle formé par la demi-droite [OM') avec l'axe des abscisses positives, nous voyons que cet angle est l'opposé de l'angle que forme [OM) avec l'axe des abscisses positives.

Par conséquent, en passant aux affixes, nous pouvons dire que l'argument de l'affixe du conjugué de m est l'opposé de l'argument de m.

Modèle:Propriété

Affixe d'un vecteur

Soient A et B deux points du plan complexe. Nous savons en analyse vectorielle que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont égales aux coordonnées de l'extrémité auxquelles on soustrait les coordonnées de l'origine. Or les coordonnées d'un point dans le plan complexe sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de l'affixe du point. On peut donc envisager de définir aussi l'affixe d'un vecteur en disant que c’est l'affixe de l'extrémité moins l'affixe de l'origine.

Les propriétés suivantes justifient, a posteriori, la définition de l'affixe d'un vecteur.

Angle orienté entre deux vecteurs

Nous abordons ici un point important de ce chapitre. Soient quatre points A, B, C, D du plan complexe. Nous avons alors la propriété fondamentale suivante :