Théorie physique des distributions/Exercices/Transformée de Fourier

Exercice 6-1

1°  Calculer la transformée de Fourier de la distribution $T_a:={\delta }_{-a}+{\delta }_a$.

Modèle:Solution 2°  Calculer la transformée de Fourier de la distribution régulière associée aux fonctions $f_1(t):={\mathrm{e}}^{-|t|}$ et $f_2(t):={\mathrm{e}}^{-|t|}\sin t$. Modèle:Solution

Exercice 6-2

On rappelle la définition de la fonction porte Π étudiée dans l'exercice 4-1 :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\mathrm{\Pi }(x)=\{\begin{array}{ccc}0& \mathrm{s}\mathrm{i}& x<-\frac{1}{2}\\ 1& \mathrm{s}\mathrm{i}& -\frac{1}{2}⩽x<\frac{1}{2}\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}& \frac{1}{2}⩽x\end{array}$

a - Calculer directement la transformée de Fourier de la fonction Π.

b - Calculer la transformée de Fourier de la fonction Π après l'avoir écrit en fonction de la fonction de Heaviside.

Exercice 6-3

On rappelle la définition de la fonction ⋀ rencontrée dans l'exercice 4-1 :

$\mathrm{\forall }x\in ℝ,\wedge (x)=\{\begin{array}{ccc}1-|x|& \mathrm{s}\mathrm{i}& |x|⩽1\\ 0& \mathrm{s}\mathrm{i}& |x|>1\end{array}$

a - Calculer directement la transformée de Fourier de la fonction ⋀.

b - On a vu dans l'exercice 4-1 que ⋀ = Π ⋆ Π. En déduire un autre calcul de la transformée de Fourier de la fonction ⋀.

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