Théorie des groupes/Exercices/Groupes dicycliques

Problème 1 (Sous-groupes d'ordre impair d'un groupe dicyclique)

Soit G un groupe dicyclique, soit $r$ un nombre naturel impair divisant l'ordre de G. Prouver que G contient un et un seul sous-groupe d'ordre $r$ et que ce sous-groupe est cyclique.

Problème 2 (Classification des groupes d'ordre 8)

Soit G un groupe non abélien d'ordre 8. Prouver que G est isomorphe à D₈ (groupe diédral d'ordre 8) ou à Q₈ (groupe des quaternions). (Indication : choisir un élément a d'ordre 4 dans G et un élément b de G n'appartenant pas à <a>. Prouver que babModèle:Exp = aModèle:Exp. Examiner ensuite le cas où b est d'ordre 2 et le cas où b est d'ordre 4.)

Problème 3 (Dérivé d'un groupe dicyclique)

Soit n un nombre naturel non nul, soit G un groupe dicyclique d'ordre 4n.
Soit a un élément d'ordre 2n de G, soit b un élément de G tel que $b^2=a^n$ et $b^{-1}ab=a^{-1}.$
(On sait que a et b existent, que b est d'ordre 4 et n'appartient pas à <a>.)
a) Prouver que le dérivé D(G) de G est $<a^2>=\{1,a^2,\dots ,a^{2n-2}\}.$ En déduire que tout groupe dicyclique est résoluble. Modèle:Clr Modèle:Solution b) Expliciter les éléments de G/D(G). Prouver que si n est impair, G/D(G) est un groupe cyclique d'ordre 4 et que si n est pair, G/D(G) est un groupe de Klein. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 4 (Classification des groupes d'ordre 12)

a) Soit G un groupe non abélien d'ordre 12. Prouver que G est isomorphe au groupe alterné A₄, à D₁₂ (groupe diédral d'ordre 12) ou à DC₃ (groupe dicyclique d'ordre 12). (Rappel : on a vu dans un problème de la série [[../Groupes alternés|Groupes alternés]] que tout groupe d'ordre 12 ayant plusieurs sous-groupes d'ordre 3 est isomorphe à A₄.) Modèle:Solution

b) Prouver que tout groupe d'ordre 12 est résoluble. Modèle:Solution

Problème 5 (Classes de conjugaison d'un groupe dicyclique)

Soit n un nombre naturel non nul, soit G un groupe dicyclique d'ordre 4n.
Soit a un élément d'ordre 2n de G, soit b un élément de G tel que $b^2=a^n$ et $b^{-1}ab=a^{-1}.$
(On sait que a et b existent, que b est d'ordre 4 et n'appartient pas à <a>.)
Déterminer les classes de conjugaison d'éléments de G et le nombre de ces classes. Modèle:Clr Modèle:Solution

Problème 6 (Homomorphismes partant d'un groupe dicyclique)

Soit n un nombre naturel non nul, soit G un groupe dicyclique d'ordre 4n.
Soit a un élément d'ordre 2n de G, soit b un élément de G tel que $b^2=a^n$ et $b^{-1}ab=a^{-1}.$
(On sait que a et b existent, que b est d'ordre 4 et n'appartient pas à <a>.)
Soit H un groupe, soient A et B des éléments de H tels que A²ⁿ = 1, B² = Aⁿ et B^-1 A B = A^-1.
Prouver qu'il existe un et un seul homomorphisme de G dans H qui applique a sur A et b sur B. (Indication. On peut utiliser la « table de multiplication » de G qui a été donnée dans le chapitre théorique et noter quelque chose d'analogue concernant H, A et B.) Modèle:Clr Modèle:Solution Remarques. 1° Si nous connaissions déjà les éléments de la théorie des présentations de groupes, l'existence et l'unicité de l'homomorphisme en question se déduiraient facilement d'un théorème de cette théorie, le théorème de von Dyck. On a fait une remarque analogue au sujet des groupes diédraux.
2° Cet exercice servira dans un exercice de la série Caractères irréductibles de quelques groupes.

Problème 7

Prouver que le groupe symétrique $S_7$ n'a pas de sous-groupe isomorphe au groupe $Q_8$ (groupe des quaternions, groupe quaternionien d'ordre 8).
Indication : on a explicité la structure des 2-sous-groupes de Sylow de $S_7$ dans les [[../Groupes diédraux/|exercices sur les groupes diédraux]]. Modèle:Clr Modèle:Solution