Corps (mathématiques)/Exercices/Exemple de corps

Exercice 1

Soit $d$ un rationnel positif dont la racine carrée est irrationnelle. On note $E=\{a+b\sqrt{d}\mid (a,b)\in {\mathbb{Q}}^2\}\subset ℝ$.

1. Vérifier que $E$ contient $\mathbb{Q}$.
2. Montrer que $+$ est une loi de composition interne sur $E$.
3. Montrer que $\times$ est une loi de composition interne sur $E$.
4. Montrer que pour tout $x\in E\setminus \{0\}$, son inverse $x^{-1}$ appartient à $E$.
5. En déduire que $(E,+,\times )$ est un corps.

Exercice 2

Cet exercice généralise le précédent.

Soit $(K,+,\times )$ un corps commutatif. Pour $\lambda \in K$, on définit sur $K^2$ deux lois de composition internes $\oplus$ et $\otimes$ par :

$\mathrm{\forall }(x,y,u,v)\in K^4\{\begin{array}{c}(x,y)\oplus (u,v)=(x+u,y+v)\\ (x,y)\otimes (u,v)=(xu+\lambda yv,xv+yu).\end{array}$

1. Montrer que $(K^2,\oplus ,\otimes )$ est un anneau commutatif.
2. Montrer que cet anneau est un corps si et seulement si $\lambda$ n'est pas un carré dans $K$.