Recherche:Résolution idéale au mieux de systèmes non-linéaires à base de fonctions/Quelques résolutions

__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Modèle:Chapitre

À VENIR

Quelques résolutions

Fonctions harmoniques

Résolution au mieux 3 équations

A CONTINUER

En sinus

Soit le système :

$\{\begin{array}{c}{y}_1=k\times {\sin }^{2n+1}(1w)\\ y_2=k\times {\sin }^{2n+1}(2w)\\ y_3=k\times {\sin }^{2n+1}(3w)\end{array}$

La résolution au mieux consiste à amener le systéme sous la forme :

$\{\begin{array}{c}\frac{y_2}{y_1}=(2C{)}^{2n+1}\\ \frac{y_3}{y_1}=(-1+4C^2{)}^{2n+1}\\ C=cos(w)\end{array}$

Puis à le résoudre au mieux.

Système simplifié avec n=0

À MODIFIER AVEC DIFFERENTES METHODES

$\{\begin{array}{c}{y}_1=k\times \sin (w)\\ y_2=k\times \sin (2w)\\ y_3=k\times \sin (3w)\end{array}$

La résolution au mieux consiste à amener le système sous la forme :

$\{\begin{array}{c}\frac{y_2}{y_1}=2C\\ \frac{y_3}{y_1}=-1+4C^2\\ C=cos(w)\end{array}$

Puis à le résoudre au mieux :

$4C^2+2C-\frac{y_1+y_3+y_2}{y_1}=0$

D'où $C$:

$C=\frac{-1\pm \sqrt{1+4\frac{y_1+y_3+y_2}{y_1}}}{4}$

Discussion et validation du résultat :

a / $-1<C<+1$ : Il existe une solution au mieux, voire exacte.

b / $C>+1$ ou $C<-1$ alors poursuivre la résolution au mieux à un degré de confiance à vérifier en résolvant séparément chaque équation puis :

* b1/ en $C^2$ pur : $C^2=\frac{(\frac{y_2}{y_1}{)}^2+\frac{y_3}{y_1}+1}{16}$ en exprimant les deux équations en $C^2$ par l'élévation de la première au carré puis en faisant la moyenne par demi-sommation.

* b2/ en $C$ pur : $C=\frac{\frac{y_2}{y_1}+\sqrt{\frac{y_3}{y_1}+1}}{8}$ en extrayant $2C$ de la deuxième par une racine de $4C^2$ puis en faisant la moyenne par demi-sommation.

Système simplifié avec n=-1

À COMPLETER

$\{\begin{array}{c}{y}_1=k\times \frac{1}{\sin (w)}\\ y_2=k\times \frac{1}{\sin (2w)}\\ y_3=k\times \frac{1}{\sin (3w)}\end{array}$

La résolution au mieux consiste à amener le systéme sous la forme :

$\{\begin{array}{c}\frac{1}{\frac{y_2}{y_1}}=2C\\ \frac{1}{\frac{y_3}{y_1}}=-1+4C^2\\ C=cos(w)\end{array}$

Puis à le résoudre au mieux en se référant à la méthode du système simplifié avec $n=0$.

Résolution au mieux 2

A COMPLETER ET CONTINUER

Système simplifié

:$\{\begin{array}{c}y1=k\times \sin (1w)\\ y2=k\times \sin (2w)\\ y3=k\times \sin (3w)\\ y4=k\times \sin (4w)\end{array}$

a / Elimination de $k$ :

$\{\begin{array}{c}\frac{y2}{y1}=2C\\ \frac{y3}{y1}=-1+4C^2\\ \frac{y4}{y1}=4C(2C^2-1)\end{array}$

Puis de résoudre au mieux le système selon la méthode de sommation primaire :

$8C^3+4C^2-2C-1=\frac{y2}{y1}+\frac{y3}{y1}+\frac{y4}{y1}$

b / S'il n'y a pas de solution valable :

La résolution au mieux peut consister à amener le systéme sous la forme :

$\{\begin{array}{c}{z}_1=C\\ z_2=C^2\\ z_3=C^3\\ C=cos(w)\\ z_1=\frac{y2}{2y1}\\ z_2=\frac{\frac{y3}{y1}+1}{4}\\ z_3=\frac{\frac{y4}{y1}+2\frac{y2}{2y1}}{4}\end{array}$

Puis à le résoudre au mieux, soit de la façon suivante soit en prenant les Logarithmes, soit en faisant la moyenne géométrique , arithmétique ou harmonique (A DEVELOPPER Voir cette page ) .

$C={\left(\frac{z_1{z}_2+z_3}{2}\right)}^{\frac{1}{3}}$

$k={\left(\frac{y1\times y2\times y3\times y4}{\sin (w)\times \sin (2w)\times \sin (3w)\times \sin (4w)}\right)}^{\frac{1}{4}}$

GENERALISATION :