Changement de variable en calcul intégral/Fiche/Formulaire

Cette fiche est un résumé de la leçon.

Rappelons tout d’abord la formule du changement de variable en calcul intégral :

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f[\varphi (t)]{\varphi }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=\underset{\varphi (\alpha )}{\overset{\varphi (\beta )}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Si l'intégrale contient des fonctions trigonométriques

Règles de Bioche

Considérons l’intégrale :

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x)\mathrm{d}x$.

Modèle:1er cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par –x, on pose :

$u=\cos x$.

2^eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par π – x, on pose :

$u=\sin x$.

3^eme cas : Si l’expression f(x)dx reste invariante lorsqu’on remplace x par x + π, on pose :

$u=\tan x$.

Cas général

Si les règles de Bioche ne s'appliquent pas, on pose :

$u=\tan \frac{x}{2}$.

On a alors :

$\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}\sin x=\frac{2u}{1+u^2}\tan x=\frac{2u}{1-u^2}\mathrm{d}x=\frac{2\mathrm{d}u}{1+u^2}$.

Si l'intégrale contient deux racines de polynômes du premier degré

Premier type

Intégrales de fonctions de la forme :

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x,\sqrt{x+a},\sqrt{b-x})\mathrm{d}xa+b>0$.

On pose :

$x=\frac{b-a}{2}-\frac{b+a}{2}\cos (2\theta )$.

On a alors :

$x+a=(a+b){\sin }^2\theta b-x=(a+b){\cos }^2\theta$.

Deuxième type

Intégrales de fonctions de la forme :

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x,\sqrt{x+a},\sqrt{x+b})\mathrm{d}xa>b$.

On pose :

$x=\frac{a-b}{2}\cosh (2\theta )-\frac{a+b}{2}$.

On a alors :

$x+a=(a-b){\cosh }^2\theta x+b=(a-b){\sinh }^2\theta$.

Troisième type

Intégrales de fonctions de la forme :

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x,\sqrt{a-x},\sqrt{b-x})dxa>b$.

On pose :

$x=\frac{b-a}{2}\cosh (2\theta )+\frac{b-a}{2}$.

On a alors :

$a-x=(a-b){\cosh }^2\theta b-x=(a-b){\sinh }^2\theta$.

Intégrale contenant une racine n-ième d’une fonction homographique

Ces intégrales sont de la forme :

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})\mathrm{d}x$

On pose :

$u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\iff x=\frac{b-d{u}^n}{c{u}^n-a}\mathrm{d}x=\frac{c(b-d)u^{2n-1}+(ad-bc)u^{n-1}}{{(c{u}^n-a)}^2}\mathrm{d}u$.

En particulier :

Si l'intégrale contient une racine carrée d'un polynôme du premier degré

Ces intégrales sont de la forme :

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x,\sqrt{ax+b})\mathrm{d}x$.

On pose :

$u=\sqrt{ax+b}\iff x=\frac{u^2-b}{a}\mathrm{d}x=\frac{2u}{a}\mathrm{d}u$

Intégrale contenant une racine carrée d'un polynôme du second degré

Premier cas

L'intégrale est de la forme :

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x,\sqrt{1+x^2})\mathrm{d}x$.

On pose alors :

$x=\tan u\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{{\cos }^{2}u}$.

Autre choix possible :

$x=\sinh u\mathrm{d}x=\cosh u\mathrm{d}u$.

Deuxième cas

L'intégrale est de la forme :

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x,\sqrt{1-x^2})\mathrm{d}x$.

On pose alors :

$x=\sin u\mathrm{d}x=\cos u\mathrm{d}u$.

Autre choix possible :

$x=\tanh u\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{{\cosh }^{2}u}$.

Troisième cas

L'intégrale est de la forme :

$\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}f(x,\sqrt{x^2-1})\mathrm{d}x$.

On pose alors :

$x=\frac{1}{\cos u}\mathrm{d}x=\frac{\sin u\mathrm{d}u}{{\cos }^{2}u}$.

Autre choix possible :

$x=\cosh u\mathrm{d}x=\sinh u\mathrm{d}u$.