Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable facile

Les changements de variable présentés dans cette page demandent une légère réflexion.

Exercice 2-1

Calculer :

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\cos x}{1+{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x$.

Exercice 2-2

Démontrer que l'aire d'un disque de rayon $R$ est égale à $\pi R^2$. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Calculer $\underset{\ln 3}{\overset{3\ln 2}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+{\mathrm{e}}^x}}$. Modèle:Solution

Calculer une primitive (sur $]0,+\mathrm{\infty }[$) de la fonction $f:x\mapsto \frac{1}{\sqrt{{\mathrm{e}}^x-1}}$. Modèle:Solution

Exercice 2-4

Calculer $\int \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\mathrm{d}x$. Modèle:Solution

Calculer :

$\underset{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\overset{\sqrt{5}}{\int }}\frac{x+\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}}{x^2-1}\mathrm{d}x$.

Exercice 2-5

Calculer :

$\underset{1}{\overset{64}{\int }}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}\mathrm{d}x$.

Modèle:Solution Calculer la primitive suivante :

$\int \frac{x^{1/3}}{x+\sqrt{x}}\mathrm{d}x$.

Exercice 2-6

Calculer $\int \frac{\sin t}{1+{\cos }^{2}t}\mathrm{d}t$. Modèle:Solution Calculer $\int {\cos }^{n}t\sin t\mathrm{d}t$. Modèle:Solution Calculer $\int \frac{\mathrm{d}t}{(\sin t)(1+3\cos t)}$. Modèle:Solution Calculer $\int \frac{\mathrm{d}x}{\cos x{\sin }^{3}x}$. Modèle:Solution

Exercice 2-7

Calculer $\int \frac{1}{{\cos }^2(t)(1+\tan (t))}\mathrm{d}t$.

Modèle:Solution Calculer une primitive de $h:x\mapsto \frac{\cos x+\sin x}{\sin x{\cos }^{2}x}$. Modèle:Solution

Exercice 2-8

Calculer

$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\beta \cos x}$, pour $|\beta |\le 1$.

Modèle:Solution Calculer

$\int \frac{\mathrm{d}x}{1+\beta \sin x}$, pour $|\beta |\le 1$.

Exercice 2-9

Calculer une primitive de

1. $f:x\mapsto \frac{1}{1+\sin x-\cos x}$ ;
2. $g:x\mapsto \frac{1}{\sin x+\cos x}$.

Exercice 2-10

Calculer des primitives de :

• $\frac{1}{\sin }$ ;
• $\frac{1}{\cos }$.

Exercice 2-11

(Trigonométrie hyperbolique) Calculer des primitives de :

1. $a(x)=\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}{\mathrm{e}}^x$ ;
2. $b(x)=\frac{1}{\cosh x(1+\sinh x)}$ ;
3. $c(x)=\frac{1}{2\sinh x+\cosh x+1}$ ;
4. $d(x)=\frac{1}{1+\tanh x}$ ;
5. $e(t)=\sinh (\mathrm{arcosh}t)$.