Sommation/Changement d'indice

Le changement d'indice dans les sommations est très similaire au changement de variable en calcul intégral. La formule générale du changement d'indice sera donc similaire à la formule du changement de variable en calcul intégral. Nous avons :

Modèle:Théorème

Le théorème ci-dessus décrit le cas général. Dans la pratique, nous utiliserons surtout deux cas particuliers et il sera très rare d’avoir recours à un autre cas que les deux cas étudiés ci-dessous. Dans le cadre de ce cours, les deux cas principaux de changement d'indice, que nous étudierons, seront appelés « glissement d'indice » et « inversion d'indice ».

Glissement d'indice

Le glissement d'indice (que l’on peut aussi appeler translation d'indice) est le cas particulier où la fonction Φ envisagée dans le théorème ci-dessus est de la forme :

$i \mapsto ϕ (i) = i + k k \in ℤ$ .

Donnons un exemple simple pour mieux comprendre :

Soit la somme :

$u_{3} + u_{4} + u_{5} + u_{6} + u_{7}$ .

Nous voyons que, sous forme de sommation, cette somme peut s'écrire a priori :

$\sum_{i = 3}^{7} u_{i}$ .

Toutefois, on peut remarquer que l’on peut aussi l'écrire :

$\sum_{j = 1}^{5} u_{j + 2}$ .

On aura donc :

$\sum_{i = 3}^{7} u_{i} = \sum_{j = 1}^{5} u_{j + 2} = u_{3} + u_{4} + u_{5} + u_{6} + u_{7}$ .

On dira que l’on est passé de la première somme à la deuxième par un glissement d'indice.

Modèle:Encart

Plus généralement, la formule exprimant le glissement d'indice sera donnée par :

Modèle:Proposition

Modèle:Encart

Inversion d'indice

L'inversion d'indice (que l’on peut aussi appeler retournement d'indice) est le cas particulier où la fonction Φ envisagée dans le théorème ci-dessus est de la forme :

$i \mapsto ϕ (i) = n - i$ ,

i étant supposé prendre toutes les valeurs de 0 à n.

Donnons un exemple simple pour mieux comprendre :

Dans le cas n = 7, soit la somme :

$u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} + u_{6} + u_{7}$ .

Nous voyons que, sous forme de sommation, cette somme peut s'écrire a priori :

$\sum_{i = 0}^{7} u_{i}$ .

Toutefois, on peut remarquer que l’on peut aussi l'écrire :

$\sum_{i = 0}^{7} u_{7 - i}$ ,

ce qui consiste à écrire la somme en commençant par le dernier terme.

On aura donc :

$\sum_{i = 0}^{7} u_{i} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} + u_{6} + u_{7} = u_{7} + u_{6} + u_{5} + u_{4} + u_{3} + u_{2} + u_{1} + u_{0} = \sum_{i = 0}^{7} u_{7 - i}$ .

On dira que l’on est passé de la première somme à la deuxième par une inversion d'indice.

Modèle:Encart

Séparation de termes

Pour les besoins d'un calcul, nous pouvons parfois être amenés à séparer les termes d'une somme. Par exemple, nous pouvons être amenés à séparer les termes d'indice pair des termes d'indice impair. Plus généralement, nous pouvons être amenés à séparer les termes selon le reste de la division de l'indice par un nombre entier particulier d (classe modulo d). Pour cela, nous disposons de formules générales adaptées à ce genre d'opérations :

Pour séparer les termes selon la parité de leur indice, nous utiliserons la formule :

$\sum_{i = 0}^{n} u_{i} = \sum_{k = 0}^{E (\frac{n}{2})} u_{2 k} + \sum_{k = 0}^{E (\frac{n - 1}{2})} u_{2 k + 1}$ .

Pour séparer les termes selon le reste de la division de leur indice par 3, nous utiliserons la formule :

$\sum_{i = 0}^{n} u_{i} = \sum_{k = 0}^{E (\frac{n}{3})} u_{3 k} + \sum_{k = 0}^{E (\frac{n - 1}{3})} u_{3 k + 1} + \sum_{k = 0}^{E (\frac{n - 2}{3})} u_{3 k + 2}$ .

Pour séparer les termes selon le reste de la division de leur indice par 4, nous utiliserons la formule :

$\sum_{i = 0}^{n} u_{i} = \sum_{k = 0}^{E (\frac{n}{4})} u_{4 k} + \sum_{k = 0}^{E (\frac{n - 1}{4})} u_{4 k + 1} + \sum_{k = 0}^{E (\frac{n - 2}{4})} u_{4 k + 2} + \sum_{k = 0}^{E (\frac{n - 3}{4})} u_{4 k + 3}$ .

Pour séparer les termes selon le reste de la division de leur indice par 5, nous utiliserons la formule :

$\sum_{i = 0}^{n} u_{i} = \sum_{k = 0}^{E (\frac{n}{5})} u_{5 k} + \sum_{k = 0}^{E (\frac{n - 1}{5})} u_{5 k + 1} + \sum_{k = 0}^{E (\frac{n - 2}{5})} u_{5 k + 2} + \sum_{k = 0}^{E (\frac{n - 3}{5})} u_{5 k + 3} + \sum_{k = 0}^{E (\frac{n - 4}{5})} u_{5 k + 4}$ .