Géométrie différentielle/Espace tangent

Introduction

La définition d'une variété $C^k$ a été donnée dans le chapitre précédent, mais elle ne répond pas à notre principale question : comment dériver des fonctions ? Pour cela, il faut introduire un nouvel espace : l'espace tangent.

Soient $M$ et $N$ deux variétés $C^k$, et soit $f:M⟶N$. Comment parler de la différentielle de $f$ ? Pour cela, il faut se placer dans des cartes.

Soit $x\in M$. Soit $(U,{\varphi }_U)$ une carte de $M$ et $(V,{\varphi }_V)$ une carte de $N$ tel que $x\in U$ et $f(x)\in V$. Il est alors naturel de considérer l’application ${\phi }_V\circ f\circ {\phi }_U^{-1}$, qui va d'un espace vectoriel dans un autre. On peut alors étudier la différentiabilité de cette fonction.

La question est : que se passe-t-il quand on change de carte ? L'espace tangent est là pour répondre à cette question.

Différentielle

Reprenons notre fonction $f$ définie dans l'introduction. Grâce à l'espace tangent, nous allons pouvoir écrire sa différentielle.