Intégration en mathématiques/Primitives

Définition

f est une fonction définie sur un intervalle I. Une primitive F de f sur I est une fonction F dérivable sur I et telle que, pour tout x appartenant à I : F'(x) est égale à f(x).

Ensemble des primitives d'une fonction sur un intervalle

f est une fonction définie sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I, alors f admet une infinité de primitives qui sont toutes de la forme : F(x) + k (k étant un réel).

Calculs de primitives

$f(x)$	l'une des primitives de la fonction $f$ est...	sur l'intervalle...
$c$ ($c\in ℝ$)	$cx$	ℝ
$x^n$ ($n\in \mathbb{N}$)	$\frac{x^{n+1}}{n+1}$	ℝ
$\frac{1}{x^n}$ ($n$ nombre entier avec $n\ge 2$)	$\frac{-1}{(n-1)x^{n-1}}$	]-∞, 0[ ou ]0, +∞[
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	]0, +∞[
$\frac{1}{x}$	$\ln x$	]0, +∞[
${\mathrm{e}}^x$	${\mathrm{e}}^x$	ℝ
$\sin x$	$-\cos x$	ℝ
$\cos x$	$\sin x$	ℝ

Primitives et opérations sur les fonctions:

• Si F et G sont deux primitives de f et g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I.
• Si F est une primitive de f sur I et λ un réel, alors λF est une primitive de λf sur I.

Primitives des fonctions composées

Soit $u$ une fonction dérivable sur I.

f(x)=...	F(x)=...	Condition :
$u^{\prime }{u}^n$ (n ∈ ℕ*)	$\frac{u^{n+1}}{n+1}+k$
$\frac{u^{\prime }}{u^n}$ (n entier ≥ 2)	$-\frac{1}{(n-1)u^{n-1}}+k$	$u(x)\ne 0$ sur $I$
$\frac{u^{\prime }}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}+k$	$u(x)>0$ sur $I$
$\frac{u^{\prime }}{u}$	$\ln (u)+k$	$u(x)>0$ sur $I$
$u^{\prime }{\mathrm{e}}^u$	${\mathrm{e}}^u+k$

Méthode pour les fonctions composées

• On commence par identifier la formule à utiliser.
• Puis, si nécessaire, on multiplie par un coefficient pour faire apparaître l’expression de u' souhaitée et conclure sur la primitive.