Recherche:Techniques de prédictions/Analyse par fonction polynômiale

__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Modèle:Chapitre

Procédure

Suivre les étapes de 1/ à 7/ :

1/ Se fixer un nombre de données impair.

2/ Décomposer l'échantillonnage en partie paire et partie impaire

3/ Traiter la partie impaire. Déterminer le polynôme impair représentatif.

4/ Amortir le polynôme et envisager des limites opposées $m_{1}et-m_1$ à l'infini ou nulles.

5/ Traiter la partie paire. Déterminer le polynôme impair représentatif

6/ Amortir le polynôme et envisager une limite commune $m_2$à l'infini ou nulles.

7/ Additionner les 2 polynômes.

On obtient une forme ainsi : $y=P(x)e^{-w_1{x}^2}+m_1\times tanh(w_{2}x)+m_2\times (1-e^{-w_3{x}^2})$

Pour les étapes 3/ et 5/, il faut pour chaque partie paire et impaire :

A/ Déterminer les différentes formes possibles. Pour cela envisager les possibilités suivantes : existence d'une inflexion, d'un extrémum relatif, ou aucune particularité au niveau de chaque donnée.

REGLE DU PRINCIPE DE CONSTRUCTION : Aucun extrémum et aucune inflexion ne sera possible et envisagée entre deux valeurs successives de la variable explicative x. La courbe qui sera obtenue ne sera pas une interpolation exacte mais elle sera représentative de l'évolution des données autour et au voisinage de chacune d'elles donc représentative de l'évolution générale du phénomène échantillonné. Le polynôme sera cohérent avec celle-ci et permettra une bonne extrapolation, une fois amorti et limité, ni trop, ni trop peu, en fonction des données connues. Dans le cas de prédiction les opérations de test générales restent à effectuer.

B/ Dégager les différentes combinaisons possibles sur l’ensemble des données.

C/ Déterminer les différentes équations équations correspondantes.

D/ Modifier et ajuster les équations afin d’amortir les variations extérieures à la plage en envisageant l’existence ou non d'une limite à l'infini.

E/ Déterminer les inconnues créées introduites ainsi à l'aide des données de la partie de l'échantillon .

Remarques :

A un extrémum relatif pour la variable explicative $x=x_1$ correspond une dérivée première de la forme $P(x)\times (x^2-x_1^2)$, P(x) impair.

À une inflexion pour la variable explicative $x=x_1$ correspond une dérivée seconde de la forme $P(x)\times (x^2-x_1^2)$, P(x)pair.

La partie impaire est de la forme $x\times P(x)$ avec P(x) pair.

La partie paire est de la forme $y_0+x^2\times P(x)$ avec P(x) pair.

Seront bientôt affichées des images représentatives des différents cas.

Cas de 3 données pour introduction

Exemple :$[(-1,2)(0,1)(1,4)]$;

Modèle:Encadre

Partie impaire

Exemple :$[(-1,2)(0,0)(1,1)]$

Modèle:Encadre

Recherche de la courbe polynomiale passant par $O(0,0)$ et $A(1,\frac{c-a}{2})$

Formes d'arrivées possibles en A ( la même en son symétrique par rapport à O ) :

1/Continuation de la monotonie ( aucun changement de la nature du polynôme ).

2/Inflexion ( changement de signe de la dérivée seconde ).

3/Extrémum ( minimum ou maximum ).

En x, existence d'un point d'inflexion avec tangente quelconque de 0 à infini, ou pas de point d'inflexion.

Équations correspondantes de la courbe polynomiale OA :

On pose $y(1)=y_1=\frac{c-a}{2}$

1a/ pas d'inflexion ni en O ni en A :$y=ax$, impaire avec $y(1)=y_1$

soit $y=y_{1}x=\frac{c-a}{2}x$ mais alors $y^{″}=0$ donc il y a inflexion ce qui est contraire à l'hypothèse de départ. Cas impossible.

1b/ inflexion en O, pas en A :

$y^{″}=kx=0$ en O signe d'inflexion d'où $y=k\frac{x^3}{6}+k_{1}x$, impaire

avec $y(1)=y_1=\frac{k}{6}+k_1$.

soit $y=\frac{k}{6}{x}^3+(y_1-\frac{k}{6})x$

Modèle:Encadre

2a/ pas d'inflexion en O, inflexion en A : $y^{″}=k(x^2-1)$ d'où $y^{\prime }=k(\frac{x^3}{3}-x)$ soit $y=k(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2})$

impossible car y est impaire pas paire.

2b/ inflexions en O et A :

$y^{″}=kx(x^2-1)$ soit $y^{\prime }=k(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2})$ d'où :

Modèle:Encadre

soit $y=-\frac{60}{7}\frac{c-a}{2}(\frac{x^5}{20}-\frac{x^3}{6}$).

3a/ pas d'inflexion en O, extrémum en A : $y^{\prime }=k(x^2-1)$

impossible car alors$y^{″}=2kx=0$ en $O(0,0)$ ce qui voudrait dire inflexion en O, contraire à l'hypothèse.

3b/ inflexion en O, extrémum en A :

$y^{\prime }=k(x^2-1),y^{″}=2kx$ d'où $y=k(\frac{x^3}{3}-x)$avec $y(1)=y_1$ soit :

Modèle:Encadre

On voit bien que dès lors qu’il y a une variation de dérivée en O ( variation de vitesse ), il y a aussi inflexion nécessairement ( ce qui aurait pu être démontré par l'imparité de y et y" ). Les cas 1b, 2b, 3b sont seuls à être retenus.

Cas N°	allure en O:x_0=0	allure en A:x_1=1	nature de y"	nature de y'	calcul de y	Nom du polynôme	k	k1
1b	inflexion	continu	$kx$	$k\frac{x^2}{2}+k_1$	$k\frac{x^3}{6}+k_{1}x$	P1i3 impair 3données	$k$	$\frac{c-a}{2}-\frac{k}{6}$
2b	inflexion	inflexion	$kx(x^2-1^2)$	$k(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2})$	$k(\frac{x^5}{20}-\frac{x^3}{6})$	P2i3 impair 3données	$-\frac{60}{7}\frac{c-a}{2}$
3b	inflexion	extrémum	$2kx$	$k(x^2-1^2$)	$k(\frac{x^3}{3}-x)$	P3i3 impair 3données	$-\frac{3}{2}\frac{c-a}{2}$

Partie paire

Exemple:$[(0,3)(0,1)(1,3)]$

Modèle:Encadre

Recherche de la courbe polynomiale passant par $O(0,b)$ et $A(1,\frac{c+a}{2})$

Formes d'arrivées possibles en A ( la même en son symétrique par rapport à Oy ) :

1/Continuation de la monotonie ( aucun changement de la nature du polynôme ).

2/Inflexion ( changement de signe de la dérivée seconde ).

3/Extrémum ( minimum ou maximum ).

En x, existence d'un extrémum avec tangente horizontale.

Équations correspondantes de la courbe polynomiale OA :

On pose $y(1)=y_1=\frac{c+a}{2}$ et $y_0=y(0)=b$

1/ extrémum en O, pas d'inflexion en A :

$y=k{x}^2+y_0$, paire avec $y(0)=y_0=b$ soit :

Modèle:Encadre

2/ extrémum en O, inflexion en A :

Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle y"=k(x^2-1)} d'où $y^{\prime }=k(\frac{x^3}{3}-x)$ d'où $y=k(\frac{x^4}{12}-\frac{x^2}{2})+y_0$ avec $y_1=\frac{a+c}{2}=k(\frac{1^4}{12}-\frac{1^2}{2})+b$ enfin :

Modèle:Encadre

Cas N°	allure enO:x_0=0	allure en A:x_1=1	nature de y"	nature de y'	calcul de y	Nom du polynôme	k	k1
1	extrémum	continu		$2kx$	$k{x}^{2}2+k_1$	P1p3 pair 3 données	$\frac{c+a}{2}-b$	$b$
2	extrémum	inflexion	$k(x^2-1^2)$	$k(\frac{x^3}{3}-x)$	$k(\frac{x^4}{12}-\frac{x^2}{2})$	P2p3 pair 3 données	$\frac{12}{5}(-\frac{a+c}{2}+b)$	$b$

Conclusion : polynômes résultants

Cas général

$[(-1,a)(0,b)(1,c)]$

On fait la somme d'un polynôme pair et impair. Il y a 6 = 3impairesx2paires combinaisons possibles selon les configurations en O et A. La suite des valeurs Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle y_2,y_3…} , analysées spécifiquement, indiqueront quelle est la fonction prédictive.

$P1(x)=\frac{k}{6}{x}^3+(\frac{c-a}{2}-\frac{k}{6})x+(\frac{c+a}{2}-b)x^2+b$

$P2(x)=\frac{k}{6}{x}^3+(\frac{c-a}{2}-\frac{k}{6})x+4(-\frac{c+a}{2}+b)(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2})+b$

$P3(x)=-\frac{60}{7}\frac{c-a}{2}(\frac{x^5}{20}-\frac{x^3}{6})+(\frac{c+a}{2}-b)x^2+b$

$P4(x)=-\frac{60}{7}\frac{c-a}{2}(\frac{x^5}{20}-\frac{x^3}{6})+4(-\frac{c+a}{2}+b)(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2})+b$

$P5(x)=-\frac{3\frac{c-a}{2}}{2}(\frac{x^3}{3}-x)+(\frac{c+a}{2}-b)x^2+b$

$P6(x)=-\frac{3\frac{c-a}{2}}{2}(\frac{x^3}{3}-x)+4(-\frac{c+a}{2}+b)(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2})+b$

Les 2 premières combinaisons laissent la porte ouverte à de multiples possibilités selon k( différent de 0 ). Malgré l'interrogation soulevée, ce sera pourtant la porte de sortie une fois balayé les 6 autres combinaisons pour avoir un horizon prédictif suffisant.

Il semble étonnant qu’à partir de 3 données on puisse parfois déterminer un horizon prédictif et pourtant c’est bien le cas : nous sommes dans le cas de l'effet papillon bien connu .

Exemple

Exemple :$[(-1,2)(0,1)(1,4)]$

$a=2;b=1;c=4$

$P1(x)=\frac{k}{6}{x}^3+(\frac{4-2}{2}-\frac{k}{6})x+(\frac{4+2}{2}-1)x^2+1=\frac{k}{6}{x}^3+2x^2+(1-\frac{k}{6})x+1$ vérifié exact

$P2(x)=\frac{k}{6}{x}^3+(\frac{4-2}{2}-\frac{k}{6})x+4(-\frac{4+2}{2}+1)(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2})+1=-2x^4+\frac{k}{6}{x}^3+4x^2+(1-\frac{k}{6})x+1$ vérifié exact

$P3(x)=-\frac{60}{7}\frac{4-2}{2}(\frac{x^5}{20}-\frac{x^3}{6})+(\frac{4+2}{2}-1)x^2+1=-\frac{3}{7}{x}^5+\frac{10}{7}{x}^3+2x^2+1$ vérifié exact

$P4(x)=-\frac{60}{7}\frac{4-2}{2}(\frac{x^5}{20}-\frac{x^3}{6})+4(-\frac{4+2}{2}+1)(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2})+1=-\frac{3}{7}{x}^5-2x^4+\frac{10}{7}{x}^3+4x^2+1$ vérifié exact.

$P5(x)=-\frac{3\frac{4-2}{2}}{2}(\frac{x^3}{3}-x)+(\frac{4+2}{2}-1)x^2+1=-\frac{1}{2}{x}^3+2x^2+\frac{3}{2}x+1$ vérifié exact.

$P6(x)=-\frac{3\frac{4-2}{2}}{2}(\frac{x^3}{3}-x)+4(-\frac{4+2}{2}-1)(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2})+1=-2x^4-\frac{1}{2}{x}^3+4x^2+\frac{3}{2}x+1$ vérifié exact.

$P1(2)=;P2(2)=;P3(2)=;P4(2)=;P5(2)=;P6(2)=$

On voit bien la nécessité que, tout en ayant l'allure de l'évolution future, il est nécessaire d’amortir tout de suite les résultats pour en obtenir une valeur plus conforme à leur devenir.

Première approche globale de l’amortissement et des limites

En amortissement simple brut global, avec les $P_{ip}(x)$ ci-dessus, la forme du polynôme à obtenir est :

Modèle:Encadre

L’amortissement exponentiel offre des valeurs inférieures à 1 tendant vers 0 pour x infini, les w fixant la vitesse de décroissance, les m donnant les limites à l'infini.

D'autres formes sont possibles en adjoignant certaines fonctions comme sinus en facteur à l'exponentielle ou en remplaçant l'exponentielle par une somme d'exponentielles dont la somme des coefficients est 1.

On note qu'éventuellement seule la limite pour +infini est intéressante dans le cas d'une extrapolation à droite.

D'où, dans ce cas, la forme à trouver : $P_{ip}a(x)=(P_{pi}(x)-m)e^{-|w{x}^2\times (x^2-1)\times (x^2-4)|}+m$

L’amortissement induit la création d'une espèce de polynôme amorti de régression. La détermination de w se fera de préférence par la minimisation de la somme des carrés des écarts des valeurs du polynôme à celles amorties.

Il y aura à se poser la question de la sélection du ou des polynômes résultants représentatifs après amortissement.

Les problèmes sont de savoir s'il faut amortir chaque polynôme pair et impair trouvé séparément, ou seulement les polynômes résultants, et par rapport à quoi amortir. La logique voudrait que les valeurs de x testées soit aussi réparties en échantillonnages pair et impair et que les tests soient indépendants. Il s'agira de déterminer k1 ( dans le cas de 3 données ), les 2 m et les 3 w d’amortissement.

Le fait de travailler les polynômes sur 3 données est intéressant car il fait intervenir uniquement la dynamique mathématique de l'instant, dynamique de l'instant qui influe le cours du futur, d'où une aide à la prise de décision à court et moyen terme ( applicable peut-être en bourse ). Le paramètre k1 indéfini contrarie cet apport. Travailler sur 5 données au minimum efface cet aléa.

Le fait de travailler sur des échantillonnages plus grands fait intervenir l’ensemble et la succession des dynamiques instantanée ( on le verra sur 5 données ) et complexifie les recherches pas forcément utilement.

Le fait de travailler sur des moyennes par classes donne la tendance générale de la dynamique, ce qui se révèle utile pour une vision globale.

Cas de 5 données

Exemple :$[(-2,1)(-1,2)(0,1)(1,4)(2,3)]$;

Modèle:Encadre

Partie impaire

Exemple :$[(-2,-1)(-1,-1)(0,0)(1,1)(2,1)]$;

Modèle:Encadre

Le but est de chercher et de trouver une courbe polynomiale $y_i(x)$ passant par les 5 couples $(x,y)$

Les 6 cas de configuration de la courbe impaire pour 7 données ( symétrique pour x négatif par rapport à O). Déduction de l'équation de y", puis y', puis enfin y(x)impaire. Sur ces 6 cas , seules la 1 et la 3 permettent de trouver une courbe passant par les 5 points.

Cas N°	allure en x_0=0	allure en x_1=1	allure en x_2=2	nature de y"	nature de y'	calcul de y	Nom du polynôme	k	k1
1	inflexion	continu	continu	$2kx$	$k{x}^2+k_1$	$k\frac{x^3}{3}+k_{1}x$	P1i5 impair 5données	$\frac{c_2-a_2}{4}-\frac{c_1-a_1}{2}$	$\frac{2(c_1-a_1)}{3}-\frac{c_2-a_2}{12}$
2	inflexion	continu	extrémum + inflexion	$4kx(x^2-2^2)$	$k(x^2-2^2{)}^2+k_1$	$k(\frac{x^5}{5}-8\frac{x^3}{3}+16x)+k_{1}x$	P2i5 impair 5données
3	inflexion	inflexion	continu	$kx(x^2-1^2)$	$k(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2})+k_1$	$k(\frac{x^5}{20}-\frac{x^3}{6})+k_{1}x$	P3i5 impair 5données
4	inflexion	inflexion	extrémum + extrémum	$4kx(x^2-1^2)$	$k(x^2-1^2{)}^2+k_1$	$k(\frac{x^5}{5}-2\frac{x^3}{3}+x)+k_{1}x$	P4i5 impair 5données
5	inflexion	extrémum + inflexion	inflexion	$4k(2x-5)x(x^2-2^2)(x^2-1^2)$	$k(x^2-2^2{)}^2(x^2-1^2{)}^2+k_1$	$k(\frac{x^9}{9}-10\frac{x^7}{7}-40\frac{x^3}{3}+16x)+k_{1}x$	P5i5 impair 5données
6	inflexion	extrémum + inflexion	continu	$4kx(x^2-1^2)$	$k(x^2-1^2{)}^2+k_1$	$k(\frac{x^5}{5}-2\frac{x^3}{3}+x)+k_{1}x$	P6i5 impair 5données

Les valeurs de $x_1$ et $x_2$ permettront de déterminer les deux inconnues $k$ et $k_1$.

Partie paire

Exemple :$[(-2,2)(-1,3)(0,1)(1,3)(2,2)]$;

Modèle:Encadre

Le but est de chercher et de trouver une courbe polynomiale $y_p(x)$ passant par les 5 couples $(x,y)$

Les 5 cas de configuration de la courbe paire pour 7 données ( symétrique pour x négatif par rapport à Oy ). Déduction de l'équation de y", puis y', puis enfin y(x)impaire.

À RECALCULER

Cas N°	allure en x_0=0	allure en x_1=1	allure en x_2=2	nature de y"	nature de y'	calcul de y	Nom du polynôme	k	k1
1	extrémum + inflexion	continu	continu	$k{x}^4+k_1{x}^2$	$k\frac{x^5}{5}+k_1\frac{x^3}{3}$	$k\frac{x^6}{30}+k_1\frac{x^4}{12}+k_2$	P1p5 pair 5données
2	extrémum + inflexion	continu	inflexion	$(k{x}^4+k_1{x}^2)(x^2-2^2)$	${\displaystyle }$	$+k_2$	P2p5 pair 5données
3	extrémum + inflexion	inflexion	continu	$(k{x}^4+k_1{x}^2)(x^2-1^2)$	${\displaystyle }$	$+k_2$	P3p5 pair 5données
4	extrémum + inflexion	inflexion	extrémum	$(k{x}^4+k_1{x}^2)(x^2-1^2)$	$(x^2-2^2)$	$k_2$	P4p5 pair 5données
5	extrémum + inflexion	inflexion	inflexion	$(k{x}^4+k_1{x}^2)(x^2-1^2)(x^2-2^2)$	${\displaystyle }$	$+k_2$	P6p5 pair 5données
6	extrémum	inflexion	extrémum + inflexion	$(k{x}^4+k_1{x}^2)(x^2-1^2)$	$(x^2-2^2)$	$+k_2$	P4p5 pair 5données
7	extrémum + inflexion	inflexion	extrémum + inflexion	$(k{x}^4+k_1{x}^2)(x^2-1^2)(x^2-2^2)$	$(x^2-2^2)$	$+k_2$	P4p5 pair 5données

Les valeurs de $x_1$ et $x_2$ permettront de déterminer les deux inconnues $k$ et $k_1$.

Conclusion : polynômes résultants non amortis

Les 30 polynômes sommes d'un des 6 polynômes impairs et d'un des 5 polynômes pairs sont possibles en tant que modélisation de l'échantillon de 5 données.

Amortir un polynôme

Modéliser un échantillon par un polynôme de Lagrange ou comme ci-dessus pour 3 et 5 données n'est valable que pour une interpolation.

Faire une modélisation prédictive en extrapolation nécessite d’amortir ce polynôme pour que la valeur à l'infini atteigne une limite nulle ou quelconque.

Pour pouvoir utiliser ce polynôme ou tout autre polynôme, comme ceux créés ci-dessus, pour une extrapolation, il est nécessaire de les amortir à l'extérieur par une formule qui conserve leur valeurs pour celles déjà connues. l

L'idée d’amortissement est d'ajouter une exponentielle ou une combinaison linéaire d'exponentielles, toutes décroissantes vers 0 et conservant les valeurs qui ont servi à construire le polynôme, sans oublier qu’il peut y avoir une limite non nulle à l'infini au phénomène et que c’est donc la différence à celle-ci qu’il faut amortir.

Pour ceux créés ci-dessus, l’idée est de traiter indépendamment les polynômes pairs $Pp(x)$ de base modélisant la partie paire de l'échantillonnage et les polynômes impairs $Pi(x)$ de base modélisant la partie impaire de l'échantillonnage. Soit $Ppa$ et $Pia$ les polynômes amortis. De faire ensuite la résultante par addition des polynômes pairs et impairs amortis sélectionnés et retenus.

Formes possibles des polynômes impairs amortis

$P_{ia}1(x)=(P_i(x)-m_i)e^{-w_{1i}{x}^2\times (x^2-1)\times (x^2-4)}+m_i\times sign(x)$

$P_{ia}2(x)=(P_i(x)-m_i)e^{-w_{1i}|x|\times (x^2-1)\times (x^2-4)}+m_i\times sign(x)$

$P_{ia}3(x)=(P_i(x)-m_i)(a_1.e^{-w_{1i}{x}^2\times (x^2-1)\times (x^2-4)}+a_2.e^{-w_{2i}{x}^2\times (x^2-1)\times (x^2-4)})+m_i\times sign(x)$

$P_{ia}N(x)=(P_i(x)-m_i)\sum _{i=1}^N{a}_{ni}{e}^{-w_{ni}{x}^2\times (x^2-1)\times (x^2-4)}+m_i\times sign(x)$avec $\sum _{i=1}^N{a}_{ni}=1$

Formes possibles des polynômes pairs amortis

$P_{pa}1(x)=(P_p(x)-m_p)e^{-w_{1p}{x}^2\times (x^2-1)\times (x^2-4)}+m_p$

$P_{pa}2(x)=(P_p(x)-m_p)e^{-w_{1p}|x|\times (x^2-1)\times (x^2-4)}+m_p$

$P_{pa}3(x)=(P_p(x)-m_p)(a_1.e^{-w_{1p}{x}^2\times (x^2-1)\times (x^2-4)}+a_2.e^{-w_{2p}{x}^2\times (x^2-1)\times (x^2-4)})+m_p$

$P_{pa}N(x)=(P_p(x)-m_p)\sum _{i=1}^N{a}_{np}.e^{-w_{np}{x}^2\times (x^2-1)\times (x^2-4)}+m_p$avec $\sum _{i=1}^N{a}_{np}=1$

APPLICATION POUR 5 DONNÉES :

Échantillon :

Exemple :$[(-2,1)(-1,2)(0,1)(1,4)(2,3)]$;

Modèle:Encadre

Partie impaire :

Exemple :$[(-2,-1)(-1,-1)(0,0)(1,1)(2,1)]$;

Modèle:Encadre

Partie paire :

Exemple :$[(-2,2)(-1,3)(0,1)(1,3)(2,2)]$;

Modèle:Encadre

On peut remplacer les monômes facteurs des exponentielles par des fonctions respectivement impaires et paires ( exemple : sin, cos ).

L'introduction de 4 paramètres supplémentaires nécessite la considération de plus de couples afin de les déterminer ou bien d'examiner la somme des carrés des écarts de données supplémentaires aux valeurs du polynôme amorti.

Conclusion : polynômes résultants amortis

Pour 5 données : les 30 polynômes, sommes d'un des 6 polynômes impairs amortis et d'un des 5 polynômes pairs amortis sont des modélisations prédictives possibles de l'échantillon de 5 données.

Parmi ceux-ci seuls ceux sélectionnés par les tests seront retenus pour la modélisation prédictive.