Repère euclidien non orthonormé/Produit scalaire

Dans ce chapitre, nous allons calculer le produit scalaire de deux vecteurs u et v en fonction de leurs coordonnées covariantes et contravariantes. Nous verrons comment l’expression bien connue du produit scalaire dans un repère orthonormé se généralise dans un repère non orthonormé.

Soit $n\in \mathbb{N}$.

Soit $u$ un vecteur de coordonnées covariantes Modèle:Formule et de coordonnées contravariantes Modèle:Formule.

Soit $v$ un vecteur de coordonnées covariantes Modèle:Formule et de coordonnées contravariantes Modèle:Formule.

Nous rappelons les formules suivantes :

Calculons alors le produit scalaire de $u$ par $v$.

Premier calcul

$\begin{array}{cc}u.v& =\left(\sum _{k=1}^n{x}^k{e}_k\right)\cdot v\\ & =\sum _{k=1}^n{x}^k(e_k\cdot v)\\ & =\sum _{k=1}^n{x}^k{y}_k\end{array}$

Deuxième calcul

$\begin{array}{cc}u\cdot v& =u\cdot \left(\sum _{k=1}^n{y}^k{e}_k\right)\\ & =\sum _{k=1}^n(e_k\cdot u)y^k\\ & =\sum _{k=1}^n{x}_k{y}^k\end{array}$

Nous avons obtenu le théorème suivant :

Modèle:Remarque