Repère euclidien non orthonormé/Formules de changement de bases

Modèle:Clr

Soit P la matrice de changement de base (matrice de passage) permettant de passer d’une base (e₁, e₂, … e_n) à une base (f₁, f₂, … f_n). Nous savons que, par définition, celle-ci a été obtenue en plaçant en colonne les coordonnées respectives des vecteurs f₁, f₂, … f_n dans la base (e₁, e₂, … e_n).

Compte tenu de cette définition, nous obtenons une première formule qui est : Modèle:Encadre X^c étant la matrice colonne des coordonnées contravariantes d'un vecteur u dans la base (e₁, e₂, … e_n).

Y^c étant la matrice colonne des coordonnées contravariantes du même vecteur u dans la base (f₁, f₂, … f_n).

Nous insistons sur le fait que pour obtenir cette formule, nous avons dû mettre X et Y sous forme de matrices colonnes.

Essayons alors de trouver une formule concernant cette fois les coordonnées covariantes.

Soient x₁, x₂, … ,x_n, les coordonnées covariantes d’un vecteur u dans la base (e₁, e₂, … e_n).

Soient y₁, y₂, … ,y_n, les coordonnées covariantes du même vecteur u dans la base (f₁, f₂, … f_n).

Nous avons par définition :

$\mathrm{\forall }k\in \{1,2,\cdots ,n\}{x}_k=e_k.u\text{(1)}$

$\mathrm{\forall }k\in \{1,2,\cdots ,n\}{y}_k=f_k.u\text{(2)}$

Si l’on appelle p_i^j le coefficient de la ligne i et colonne j de la matrice P, on a :

$\mathrm{\forall }k\in \{1,2,\cdots ,n\}{f}_k=\sum _{i=1}^n{p}_k^i.e_i$

En reportant cette relation dans la relation (2), nous obtenons :

$\mathrm{\forall }k\in \{1,2,\cdots ,n\}{y}_k=\sum _{i=1}^n{p}_k^i.e_i.u$

Et compte tenu de la relation (1), on obtient :

$\mathrm{\forall }k\in \{1,2,\cdots ,n\}{y}_k=\sum _{i=1}^n{p}_k^i.x_i$

Pouvons-nous représenter cette relation sous forme de produit matriciel ?

Nous voyons que la seule façon possible est celle-ci :

$\left(\begin{array}{cccc}{y}_1& y_2& \cdots & y_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cccc}{p}_1^1& p_2^1& \cdots & p_n^1\\ p_1^2& p_2^2& & p_n^2\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ p_1^n& p_2^n& \cdots & p_n^n\end{array}\right)$

Nous remarquons que nous avons dû cette fois mettre les coordonnées covariantes sous forme de matrices lignes.

Soit X_c la matrice ligne des coordonnées covariantes du vecteur u dans la base (e₁, e₂, … e_n).

Soit Yc la matrice ligne des coordonnées covariantes du vecteur u dans la base (f₁, f₂, … f_n).

Nous avons alors : Modèle:Encadre Nous remarquons aussi que, compte tenu de la définition de la matrice P (et si l’on se permet de considérer des matrices de vecteurs), nous pouvons écrire :

$\left(\begin{array}{cccc}{f}_1& f_2& \cdots & f_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{e}_1& e_2& \cdots & e_n\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cccc}{p}_1^1& p_2^1& \cdots & p_n^1\\ p_1^2& p_2^2& & p_n^2\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ p_1^n& p_2^n& \cdots & p_n^n\end{array}\right)$

Nous voyons que les coordonnées covariantes vérifient la même formule que les vecteurs des bases respectives. Ce qui justifient a posteriori le nom de coordonnées covariantes.

Et nous voyons que les coordonnées contravariantes vérifient une formule opposée par rapport aux vecteurs des bases respectives. Ce qui justifie a posteriori le nom de coordonnées contravariantes.

Nous retiendrons que les coordonnées contravariantes se représentent par des matrices colonnes X^c, Y^c, et nous avons la formule X^c = P.Y^c.

Nous retiendrons que les coordonnées covariantes se représentent par des matrices lignes X_c, Y_c, et nous avons la formule Y_c = X_c.P.

De plus, nous constatons que, dans une base orthonormée, les coordonnées covariantes sont égales aux coordonnées contravariantes. Nous avons donc, dans une base orthonormée, les formules :

Modèle:Remarque