Fonction génératrice/Annexe/Tableau récapitulatif des principales lois

Loi	Notation	X(Ω)	p(X=k)	Fonction génératrice	E(X)	V(X)
Loi uniforme Est utilisé dans une épreuve où n évènements peuvent se produire de façon équiprobable	$X⟶𝒰([[1;n]])$	$[[1;n]]$	$\frac{1}{n}$	$\frac{t}{n}\frac{1-t^n}{1-t}\text{ si }t\ne 1$ $1\text{ si }t=1$	$\frac{n+1}{2}$	$\frac{n^2-1}{12}$
Loi de Bernoulli Dans une épreuve à deux issues contraires, prend la valeur 1 si l’une des deux alternatives de probabilité p, considéré comme un succès, sort et prend la valeur 0 sinon.	$X⟶ℬ(1,p)$	$\{0;1\}$	$p(X=1)=p$ $p(X=0)=1-p$	$pt+1-p$	$p$	$p(1-p)$
Loi binomiale Donne, dans une suite de n épreuves de Bernoulli indépendantes, le nombre de succès réalisés	$X⟶ℬ(n,p)$	$[[0;n]]$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$	$(pt+1-p{)}^n$	$np$	$np(1-p)$
Loi géométrique Donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le rang d’apparition du premier succès	$X⟶𝒢(p)$	${\mathbb{N}}^{*}$	$(1-p{)}^{k-1}p$	$\frac{pt}{pt-t+1}$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
Loi hypergéométrique Donne le nombre d’objets d’un type particulier présent dans un ensemble de n objets tirés sans remise parmi N.	$X⟶\mathscr{H}(N,n,p)$	$\subset [[0;n]]$	$\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{Np}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N(1-p)}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}$	$?$	$np$	$\frac{np(1-p)(N-n)}{N-1}$
Loi de Poisson Donne le nombre d’événements indépendants apparaissant dans un intervalle de temps ou d’espace. Ces événements apparaissant de façon absolument fortuite.	$X⟶𝒫(\lambda )$	$\mathbb{N}$	$e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$	$e^{\lambda (t-1)}$	$\lambda$	$\lambda$
Loi de Pascal Donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le rang d’apparition du r-ème succès	$X⟶𝒫(r,p)$	$[[r;+\mathrm{\infty }[[$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{r-1})p^r(1-p{)}^{k-r}$	${\left(\frac{pt}{pt-t+1}\right)}^r$	$\frac{r}{p}$	$\frac{r(1-p)}{p^2}$
Loi binomiale négative Donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le nombre d’échecs avant le r-ème succès	$X⟶𝒥(r,p)$	$\mathbb{N}$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{r-1})p^r(1-p{)}^k$	${\left(\frac{p}{pt-t+1}\right)}^r$	$\frac{r(1-p)}{p}$	$\frac{r(1-p)}{p^2}$