Formule du crible/Exercices/sur le dénombrement des dérangements

Exercice 3-1

Une secrétaire dispose de 12 enveloppes portant chacune l’adresse d’un client différent. Elle a aussi 12 lettres différentes à envoyer à chacun des 12 clients. Ne sachant pas pour chaque client quelle lettre doit lui être destinée, elle met au hasard chacune des 12 lettres dans chacune des 12 enveloppes et les poste en priant le ciel que chaque client reçoive sa lettre.

1. Quelle est la probabilité que son vœu soit exaucé ?
2. Quelle est la probabilité qu’aucun des clients ne reçoivent sa lettre ?
3. Quelle est la probabilité que deux clients exactement reçoivent leur lettre ?

Exercice 3-2

Montrer que pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, le nombre de dérangements d'un ensemble à n éléments est l'entier le plus proche de $\frac{n!}{\mathrm{e}}$. Modèle:Solution