Formule du crible/Définition

La formule du crible est aussi connue sous le nom de formule de Poincaré.

La formule du crible permet de dénombrer une réunion de n ensembles non nécessairement disjoints.

• Dans le cas n = 2, la formule est très connue :

  $\mathrm{card}(A\cup B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cap B)$.

• Pour n = 3, on a :

  $\mathrm{card}(A\cup B\cup C)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)+\mathrm{card}(C)-\mathrm{card}(A\cap B)-\mathrm{card}(A\cap C)-\mathrm{card}(B\cap C)+\mathrm{card}(A\cap B\cap C)$.

• Pour n = 4 :

  $\begin{array}{cc}\mathrm{card}(A\cup B\cup C\cup D)=& \mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)+\mathrm{card}(C)+\mathrm{card}(D)\\ & -\mathrm{card}(A\cap B)-\mathrm{card}(A\cap C)-\mathrm{card}(A\cap D)-\mathrm{card}(B\cap C)-\mathrm{card}(B\cap D)-\mathrm{card}(C\cap D)\\ & +\mathrm{card}(A\cap B\cap C)+\mathrm{card}(A\cap B\cap D)+\mathrm{card}(A\cap C\cap D)+\mathrm{card}(B\cap C\cap D)\\ & -\mathrm{card}(A\cap B\cap C\cap D).\end{array}$

Plus généralement, pour une valeur quelconque de n, nous aurons :

$\mathrm{card}\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{k=1}^n((-1{)}^{k+1}\sum _{1⩽i_1<i_2<\cdots <i_k⩽n}\mathrm{card}\left(\bigcap _{j=1}^k{A}_{i_j}\right))$.

Dans cette formule, les A_i représentent des ensembles. Mais on peut aussi supposer en probabilité que les A_i représentent des événements et, dans ce cas, les cardinaux seront remplacés par des probabilités. On obtiendra alors :

$p\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)=\sum _{k=1}^n((-1{)}^{k+1}\sum _{1⩽i_1<i_2<\cdots <i_k⩽n}p\left(\bigcap _{j=1}^k{A}_{i_j}\right))$.