Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Legendre

Modèle:Exercice Modèle:Wikipédia On travaille dans $E=ℝ[X]$ muni du produit scalaire $(f,g)=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)g(x)\mathrm{d}x$.

On pose $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ le n-ième polynôme de Legendre : $\mathrm{\forall }x\in ℝ,{\lambda }_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}((x^2-1{)}^n)$.

1. Vérifier que $(\cdot ,\cdot )$ est bien un produit scalaire sur $E$.

2. Calculer λ₀, λ₁, λ₂ et λ₃.

3. Montrer que $({\lambda }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une famille orthonormale de $E$ pour le produit scalaire $(\cdot ,\cdot )$.

4.Montrer que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, λ_n vérifie l'équation différentielle $(E_1):\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[(1-x^2)\frac{\mathrm{d}{\lambda }_n}{\mathrm{d}x}]+n(n+1){\lambda }_n=0$.

5. Montrer que λ vérifie l'équation $(E_2):\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\forall }x\in ℝ,(n+1){\lambda }_{n+1}(x)-(2n+1)x{\lambda }_n(x)+n{\lambda }_{n-1}(x)=0$.