Recherche:Méthode de Sotta/Généralisation aux équations de degré quelconque

__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Modèle:Chapitre

Nous avons étudié la méthode de Sotta dans le premier chapitre sur les équations du troisième degré et nous avons vu que cette méthode permet de résoudre toutes ces équations. Nous avons ensuite vu que cette méthode peut s'adapter aux équations du quatrième degré vérifiant une condition de résolubilité s'exprimant par une relation entre les coefficients de l'équation. Une question naturelle est alors : peut-on adapter la méthode de Sotta à des équations de degré quelconque ? La réponse est presque oui, mais le nombre des conditions de résolubilité croît avec le degré de l'équation. Pour une équation de degré n, il y aura n – 3 conditions de résolubilité (nécessaires mais non suffisantes) à satisfaire. Plus le degré de l'équation est élevé, plus la méthode est restrictive : le sous-espace des polynômes unitaires de degré n auxquels elle s'applique est de dimension 3, dans un espace de dimension n. Par ailleurs, la méthode de Sotta n'effectue que des résolutions par radicaux, or un théorème d'Abel établit qu'en tout degré supérieur ou égal à 5, il existe des équations non résolubles par radicaux. La méthode de Sotta ne s'applique même pas à toutes les équations résolubles par radicaux puisqu'en degré 4, toutes le sont.

Le présent chapitre expose la méthode de Sotta sous une forme générale.

Notations

Dans cette leçon, nous utiliserons la notation indicielle car nous manipulerons, la plupart du temps, des équations de degré n. Cette façon de faire s’avérera plus commode pour énoncer des résultats généraux. Par exemple, au lieux de noter :

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$,

nous noterons :

$a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0=0$

et de façon plus générale, l'équation de degré n se notera :

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$.

Dans le cadre de ce chapitre, les coefficients de cette équation sont des nombres complexes.

$p,q,r,s$ seront des nombres complexes même s'ils apparaissent sous forme de fractions (ce qui peut porter à confusion en faisant penser à des rationnels).

Résolvante de Sotta

Dans les deux chapitres précédents, en traduisant dans la notation indicielle, nous avons défini la résolvante de Sotta $R_P$ d'un polynôme $P$ :

• de degré 3, $P(X)=a_3{X}^3+a_2{X}^2+a_{1}X+a_0$, par :

  $R_P(X)=(a_2^2-3a_3{a}_1)X^2+(a_2{a}_1-9a_3{a}_0)X+a_1^2-3a_2{a}_0$ ;

• de degré 4, $P(X)=a_4{X}^4+a_3{X}^3+a_2{X}^2+a_{1}X+a_0$, par :

  $R_P(X)=3(3a_3^2-8a_4{a}_2)X^2+6(a_3{a}_2-6a_4{a}_1)X+4a_2^2-9a_3{a}_1$.

Plus généralement, pour les équations de degré n, on pose :

Modèle:Définition Pour n égal à 3 ou 4, on retrouve, à une constante multiplicative près, les résolvantes de Sotta que nous avions définies précédemment.

Les coefficients $A=b_{n-1}^2-b_n{b}_{n-2}$, $B=b_{n-1}{b}_{n-2}-b_n{b}_{n-3}$, $C=b_{n-2}^2-b_{n-1}{b}_{n-3}$ de la résolvante ont été choisis de telle façon que Modèle:Encadre En particulier, $C=\frac{B{b}_{n-1}-A{b}_{n-2}}{b_n}$ donc si $A=B=0$ alors $C=0$.

Remarque : si $a_{n-2}=a_{n-3}=0$ alors $R_P(X)=b_{n-1}^2{X}^2$.

Théorème de Sotta

La définition ci-dessus de la résolvante trouve sa justification dans le résultat élémentaire suivant :

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante On remarque de plus : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

Conditions de résolubilité de Sotta

Nous appellerons « conditions de résolubilité de Sotta » les conditions qui, d'après le complément ci-dessus, sont nécessaires (mais non suffisantes) pour adapter la méthode de Sotta : Modèle:Définition Les conditions de résolubilité de Sotta impliquent donc (en multipliant par $b_{i+4}$) :

$\mathrm{\forall }i\in \{0,1,\cdots ,n-4\}{(b_{i+2}{b}_{i+3}-b_{i+1}{b}_{i+4})}^2=(b_{i+2}^2-b_i{b}_{i+4})(b_{i+3}^2-b_{i+2}{b}_{i+4})$.

Propriétés d'une équation vérifiant les conditions de résolubilité de Sotta

Soit une équation à résoudre :

$a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$

vérifiant les conditions de résolubilité de Sotta.

Nous avons conçu ces conditions de résolubilité de façon à obtenir, si elles sont vérifiées, une réciproque du théorème de Sotta : les n racines s'exprimeront (sauf dans quelques cas exceptionnels, dont le cas d'échec complet signalé ci-dessus) comme une fonction homographique des n racines n-ièmes d'un certain nombre complexe.

Les conditions de résolubilité permettent en général de propager la relation de récurrence linéaire d'ordre 2 amorcée par le choix de la résolvante : Modèle:Lemme Modèle:Démonstration déroulante

La résolution repose ensuite directement sur les trois théorèmes suivants (qui ne traitent pas tous les cas).

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Dans le plan complexe, les racines sont alors aux sommets d'un n-polygone régulier, qui dégénère en un point (racine d'ordre n) si $\frac{a_0}{a_n}={\left(\frac{a_{n-1}}{n{a}_n}\right)}^n$.

Pour tout n ≥ 5, les deux cas restants (cas $A\ne 0$, $C=0$ et cas $a_{n-1}=a_{n-2}=a_{n-3}=0$) ne sont pas abordés par la méthode de Sotta Modèle:Supra.

Application à la résolution des équations de petit degré

Pour faciliter (ou pas, selon les goûts) l’application de la méthode aux équations de petit degré, nous allons ci-dessous réécrire les formules vues précédemment en abandonnant la notation indicielle et en remplaçant n par sa valeur.

Degré 3

L'application de la méthode aux équations de degré 3 a déjà été étudiée dans le chapitre 1.

Degré 4

L'application de la méthode aux équations de degré 4 a déjà été étudiée dans le chapitre 2.

Degré 5

Considérons le polynôme de degré 5 :

$P(X)=a{X}^5+b{X}^4+c{X}^3+d{X}^2+eX+f$,

et supposons qu'il vérifie les conditions de résolubilité de Sotta, c'est-à-dire :

• $10a{d}^2-20ace+c^3-4bcd+8b^{2}e=0$ ;
• $8b{e}^2-20bdf+d^3-4cde+10c^{2}f=0$.

Remarque : si $c=d=0$, ces deux conditions se résument à $be=0$.

La résolvante est (à une constante multiplicative près) le polynôme :

$R_P(X)=(4b^2-10ac)X^2+(2bc-10ad)X+c^2-2bd$.

Premier cas : si $R_P$ a deux racines distinctes non nulles α et β,

alors P admet les 5 racines distinctes suivantes :

$x_k=\frac{\alpha -\beta {\gamma }_k}{1-{\gamma }_k}$

où les ${\gamma }_k={\mathrm{e}}^{\frac{2k\mathrm{i}\pi }{5}}{\gamma }_0$ sont les racines cinquièmes de $\frac{b+5\alpha a}{b+5\beta a}$.

Deuxième cas : si $R_P$ admet une racine double α non nulle,

alors α est racine d'ordre 4 de P. La racine simple manquante est donc $-\frac{b}{a}-4\alpha$.

Troisième cas : si $R_P=0$ et $b\ne 0$,

alors les 5 racines de P sont :

$x_k=-\frac{b}{5a}+{\zeta }_k$

où les ${\zeta }_k={\mathrm{e}}^{\frac{2k\mathrm{i}\pi }{5}}{\zeta }_0$ sont les racines cinquièmes de ${\left(\frac{b}{5a}\right)}^5-\frac{f}{a}$.

Degré 6

Considérons le polynôme de degré 6 :

$P(X)=a{X}^6+b{X}^5+c{X}^4+d{X}^3+e{X}^2+fX+g$,

et supposons qu'il vérifie les conditions de résolubilité de Sotta, c'est-à-dire :

• $135a{d}^2-240ace+16c^3-60bcd+100b^{2}e=0$ ;
• $160b{e}^2-300bdf+27d^3-96cde+160c^{2}f=0$ ;
• $100c{f}^2-240ceg+16e^3-60def+135d^{2}g=0$.

Sa résolvante est (à une constante multiplicative près) le polynôme :

$R_P(X)=(50b^2-120ac)X^2+(20bc-90ad)X+8c^2-15bd$.

Premier cas : si $R_P$ deux racines distinctes non nulles α et β,

alors P admet les 6 racines distinctes suivantes :

$x_k=\frac{\alpha -\beta {\gamma }_k}{1-{\gamma }_k}$

où les ${\gamma }_k={\mathrm{e}}^{\frac{k\mathrm{i}\pi }{3}}{\gamma }_0$ sont les racines sixièmes de $\frac{b+6\alpha a}{b+6\beta a}$.

Deuxième cas : si la résolvante admet une racine double α non nulle,

alors α est racine d'ordre 5 de P. La racine simple manquante est donc $-\frac{b}{a}-5\alpha$.

Troisième cas : si $R_P=0$ et $b\ne 0$,

alors les 6 racines de P sont :

$x_k=-\frac{b}{6a}+{\zeta }_k$

où les ${\zeta }_k={\mathrm{e}}^{\frac{k\mathrm{i}\pi }{3}}{\zeta }_0$ sont les racines sixièmes de ${\left(\frac{b}{6a}\right)}^6-\frac{g}{a}$.

Degré 7

Considérons le polynôme de degré 7 :

$P(X)=a{X}^7+b{X}^6+c{X}^5+d{X}^4+e{X}^3+f{X}^2+gX+h$,

et supposons qu'il vérifie les conditions de résolubilité de Sotta, c'est-à-dire :

• $189a{d}^2-315ace+25c^3-90bcd+135b^{2}e=0$ ;
• $135b{e}^2-225bdf+27d^3-90cde+125c^{2}f=0$ ;
• $125c{f}^2-225ceg+27e^3-90def+135d^{2}g=0$ ;
• $135d{g}^2-315dfh+25f^3-90efg+189e^{2}h=0$.

Sa résolvante est (à une constante multiplicative près) le polynôme :

$R_P(X)=(45b^2-105ac)X^2+(15bc-63ad)X+5c^2-9bd$.

Premier cas : si $R_P$ a deux racines distinctes non nulles α et β,

alors P admet les 7 racines distinctes suivantes :

$x_k=\frac{\alpha -\beta {\gamma }_k}{1-{\gamma }_k}$

où les ${\gamma }_k={\mathrm{e}}^{\frac{2k\mathrm{i}\pi }{7}}{\gamma }_0$ sont les racines septièmes de $\frac{b+7\alpha a}{b+7\beta a}$.

Deuxième cas : si $R_P$ admet une racine double α non nulle,

alors α est racine d'ordre 6 de P. La racine simple manquante est donc $-\frac{b}{a}-6\alpha$.

Troisième cas : si $R_P=0$ et $b\ne 0$

alors les 7 racines de P sont :

$x_k=-\frac{b}{7a}+{\zeta }_k$

où les ${\zeta }_k={\mathrm{e}}^{\frac{2k\mathrm{i}\pi }{7}}{\zeta }_0$ sont les racines septièmes de ${\left(\frac{b}{7a}\right)}^7-\frac{h}{a}$.