Série de Fourier/Exercices/Exemple de développement en série de Fourier

Exercice 2-1

Soit $f:ℝ\to ℝ$ définie par $f(t)=|\sin t|$.

1. Calculer les coefficients de Fourier réels de $f$.

2. Montrer que la série de Fourier de $f$ converge normalement et préciser sa somme.

Exercice 2-2

Soit $f:ℝ\to ℝ$ de période $2\pi$, égale à $x^2$ sur $[0,2\pi [$.

1. Démontrer que sa série de Fourier $ℱ(f)$ converge en tout point $x$ de $ℝ$ et déterminer sa somme $S(x)$.
2. Déterminer ses coefficients de Fourier.
3. En déduire la somme des séries $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$ et $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2}$.
4. 1. Montrer que pour tout $\epsilon \in ]0,\pi [$, la convergence de $ℱ(f)$ est uniforme sur $[\epsilon ,2\pi -\epsilon ]$.
   2. En déduire, pour tout $x\in ]0,2\pi [$, la somme de la série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (nx)+n\pi \cos (nx)}{n^3}$.
   3. En déduire la somme de la série $\sum _{p=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^p}{(2p+1{)}^3}$.
5. Déterminer la somme de la série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^4}$.

Exercice 2-3

Soit $f:ℝ\to ℝ$ de période $2\pi$, égale à $\cosh (\alpha x)$ sur $]-\pi ,\pi ]$ (avec $\alpha \in {ℝ}^{*}$).

1. Déterminer sa série de Fourier sous sa forme réelle.
2. Démontrer que cette série converge simplement sur $ℝ$ et déterminer sa somme $S(x)$ pour tout $x\in ℝ$.
3. En déduire la somme de $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{{\alpha }^2+n^2}$.
4. Montrer que pour tout $\epsilon \in ]0,\pi /2[$, on peut dériver terme à terme la série de Fourier de $f$ sur $[-\pi +\epsilon ,\pi -\epsilon ]$.
   En déduire, pour tout $x\in ]-\pi ,\pi [$, la somme de la série $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n}{{\alpha }^2+n^2}\sin (nx)$.
5. Quelle est la somme de $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{({\alpha }^2+n^2{)}^2}$ ?