Conduction thermique/Généralités sur la conduction

Définition

Par exemple, le transfert de chaleur entre deux pièces via un mur.

Étude

On étudie les transferts d'énergie dans un système qui n'est initialement pas à l'équilibre thermodynamique, sans quoi la question de diffusion thermique n'aurait pas lieu. Comme dans les autres problèmes physiques traitant d'énergie, nous voulons définir une équation de conservation de l'énergie.

Définition des grandeurs

La première grandeur à introduire doit décrire l'énergie "stockée" dans le matériau au point P :

La seconde valeur à introduire doit décrire les "déplacements" d'énergie :

La troisième valeur à prendre en compte doit traduire la création ou l’absorption d'énergie interne. (À l'aide d'un mécanisme biologique, ou nucléaire, par exemple)

Équation de continuité

Durant une durée dt, la variation d'énergie interne est égale à l'énergie interne créée et échangée :

$dU=\delta U_{\text{créée}}+\delta U_{\text{échangée}}$

On a :

$\frac{dU}{dt}=\underset{V}{\iiint }\frac{du(P,t)}{dt}d\tau$

$\frac{\delta U_{\text{créée}}}{dt}=\underset{V}{\iiint }\sigma (P,t)d\tau$

$\frac{\delta U_{\text{échangée}}}{dt}={\oint }_{\mathrm{\Sigma }}{\overrightarrow{j}}_Q.\overrightarrow{dS}$

En appliquant le théorème de Green-Ostrogradsky, on obtient :

Remarque : Les personnes ayant déjà suivi un cours sur l'électromagnétisme pourront faire le rapprochement avec l'équation de conservation de la charge.

Remarque 2 : Dans le cadre du programme de prépa MP, on suppose toujours σ = 0.