Fonctions homographiques/Étude

La fonction homographique est la fonction $f:x\mapsto \frac{3x+4}{x+3}$ où $c\in {ℝ}^{*}$.

La fonction homographique est obtenue grâce à un changement de coordonnées de la fonction inverse : En définissant $g:x\mapsto \frac{1}{x}$, on a l'égalité suivante : $f(x)=\frac{3}{1}+\frac{1}{1}(4-\frac{9}{1})g(x+\frac{3}{1})$.Modèle:Chapitre

Étude des variations

On pose : $f:x\mapsto \frac{ax+b}{cx+d}$.

Signe de la dérivée

On se propose d'étudier le signe de la dérivée de $f$.

Modèle:Propriété

Variations d'une fonction homographique

On peut donc déduire du signe de $f^{\prime }$ les variations de $f$.

Limites d'une fonction homographique

Calcul des limites

Modèle:Démonstration déroulante On doit donc calculer la limite en $\frac{-d}{c}$ de f au cas par cas :
Modèle:Démonstration déroulante

Limites d'une fonction homographique

Remarque: les limites en +infini et en -infini sont identiques et valent a/c (on peut aisément le démontrer par factorisation). Autrement dit, une fonction homographique possède deux asymptotes: les droites x = -d/c et y = a/c.

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