Conservation de la masse et équation de continuité/Forme globale

La forme globale, ou forme intégrale, de la conservation de la masse s'applique sur un volume $V$ de fluide, ce qui explique l’utilisation de l'outil intégrale. La masse $m$ de ce volume $V$ peut s'écrire :

$m(t)=\int \int \underset{V}{\int }\rho (\overrightarrow{r},t)\mathrm{d}V$.

Or le principe physique de la conservation de la masse au cours du temps implique :

$\frac{\mathrm{d}m(t)}{\mathrm{d}t}=0$.

Il vient donc:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int \int \underset{V}{\int }\rho (\overrightarrow{r},t)\mathrm{d}V=0$.

Et d’après le théorème de transport de Reynolds, il vient finalement :

On peut montrer ( grâce au théorème de Green-Ostrogradski ) que la conservation de la masse peut également s'exprimer :