Statique des fluides/Poussée d'Archimède

Établissement de l’expression

Un exemple (à gauche) et un contre exemple (à droite) du concept de crève-tonneau de Pascal

La Poussée d'Archimède est définie comme la somme des pressions p appliquées sur l’ensemble de ses surfaces élémentaires $\mathrm{d}S$ :

$$\overrightarrow{A}=-\int \subset \supset \underset{S}{\int }p.\mathrm{d}\overrightarrow{S}=-\int \int \underset{V_{solide}}{\int }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }p}.\mathrm{d}V=-\int \int \underset{V_{solide}}{\int }{\rho }_{fluide}.\overrightarrow{g}.\mathrm{d}V$$.

L'accélération de pesanteur est supposée constante et $⟨{\rho }_{fluide}⟩$ étant la masse volumique moyenne du fluide, on peut écrire :

$\overrightarrow{A}=-⟨{\rho }_{fluide}⟩.V_{solide}.\overrightarrow{g}$.

Dans le cas où le solide flotte dans un liquide, et qu’il a une partie émergée dans un gaz, les forces de pressions dues au gaz sont négligeables devant celles dues au liquide dans les cas courants. En effet, la masse volumique des gaz est très faible devant celle des liquides. On ne considère alors que la partie immergé du solide et on obtient :

$\overrightarrow{A}=-{\rho }_{liquide}.V_{immerg\acute{e}}.\overrightarrow{g}$

Conditions de flottabilité d'un solide

$\overrightarrow{P}$ étant le poids du solide en équilibre, le principe fondamental de la statique impose :

$\overrightarrow{P}+\overrightarrow{A}=\overrightarrow{0}$.

Le Poids est défini comme le produit de la masse du solide par l'accélération de pesanteur :

$\overrightarrow{P}={\rho }_{solide}.V_{solide}.\overrightarrow{g}$.

Il vient donc :

$\frac{V_{immerg\acute{e}}}{V_{solide}}=\frac{{\rho }_{solide}}{{\rho }_{liquide}}$.