Topologie générale/Exercices/Connexité

Connexité

Exercice 1

Dans ${ℝ}^n$, soit $F$ un sous-espace affine de dimension $p<n$. Quel est le nombre de composantes connexes de ${ℝ}^n\setminus F$ ? Modèle:Solution

Exercice 2

Une application f d'un espace topologique X dans un ensemble Y est dite localement constante si tout point de X possède un voisinage sur lequel f est constante.

1. Soient $U$ un ouvert de $ℝ$ et $f:U\to ℂ$ dérivable et de dérivée nulle. Montrer que $f$ est localement constante.
2. Montrer que si une application $f:X\to Y$ est localement constante alors elle est constante sur chaque composante connexe de $X$.

Exercice 3

Soit $A$ et $B$ deux parties d'un espace topologique $E$.

1. Montrer que si $A$ et $B$ sont fermés dans $E$ et si $A\cap B$ et $A\cup B$ sont connexes, alors $A$ et $B$ sont connexes.
2. Trouver un contre-exemple pour $A$ ou $B$ non fermé.
3. Montrer que si $A$ et $B$ sont connexes et si $\bar{A}\cap B$ est non vide, alors $A\cup B$ est connexe.

Exercice 4

Soit $E$ un espace connexe et localement connexe. Soient $A$ et $B$ deux fermés de $E$ non vides et disjoints. Montrer qu'il existe une composante connexe de $E\setminus (A\cup B)$ dont l'adhérence rencontre à la fois $A$ et $B$. Modèle:Solution

Exercice 5

Soient $I$ un intervalle réel et $f:I\to ℝ$ une injection continue. On pose $T=\{(x,y)\in I\times I\mid x<y\}$ et $g:T\to ℝ,(x,y)\mapsto f(y)-f(x)$.

1. Montrer que $g(T)$ est un intervalle.
2. En déduire que $f$ est monotone.

Exercice 6

1. Soit $Z=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2-y^2=0\}$. Montrer qu'il existe deux fonctions continues distinctes $g_1,g_2:ℝ\to ℝ$ dont le graphe est inclus dans Z et contient $(1,1)$.
2. Soient $V$ un espace topologique quelconque, $F$ un espace séparé, $g:V\to F$ une application continue, $G$ son graphe et $(a,b)$ un point de ce graphe.
   On suppose que G est ouvert dans une certaine partie Z de V×F (pour la topologie induite sur Z). Montrer qu'alors, sur tout connexe de V contenant $a$, $g$ est la seule application continue dont le graphe est inclus dans Z et contient $(a,b)$.

Connexité par arcs

Exercice 7

Modèle:Wikipédia Soit $G$ le graphe de l’application $f:{ℝ}_{+}^{*}\to ℝ,x\mapsto \sin (1/x)$ : $G=\{(x,\sin (1/x))\mid x\in {ℝ}_{+}^{*}\}$. Montrer que $\bar{G}$ est connexe mais pas connexe par arcs. Modèle:Solution

Exercice 8

Montrer que le groupe topologique SO(3) des matrices de rotation en dimension 3 est connexe par arcs.

Remarque : il en résulte évidemment que le groupe orthogonal O(3) a deux composantes connexes par arcs : SO(3) et son complémentaire. Modèle:Solution

Exercice 9

Soit $\mathrm{\Omega }$ un ouvert connexe de ${ℝ}^3$.

1. Montrer que $\mathrm{\Omega }$ est connexe par arcs polygonaux.
2. Soit $D$ une droite de ${ℝ}^3$. Montrer que $\mathrm{\Omega }\setminus D$ est connexe.

Exercice 10

1. Montrer que pour deux points distincts quelconques $x$ et $y$ du plan, il existe une famille ${\left({\gamma }_s\right)}_{s\in ℝ}$ de chemins dans le plan de $x$ à $y$, polygonaux, et tels que les ${\gamma }_s\left(]0,1[\right)$ soient disjoints deux à deux.
2. En déduire que pour toute partie au plus dénombrable $D$ du plan, ${ℝ}^2\setminus D$ est connexe par arcs polygonaux.
3. Montrer de même que ${ℝ}^2\setminus D$ est connexe par arcs CModèle:Exp.