Mécanique du point/Dynamique

Application : Étude de la trajectoire d'un projectile en chute libre

Le mouvement d'un objet soumis à un champ de pesanteur uniforme (en l'absence de frottements) est une trajectoire parabolique.

Soit un corps supposé ponctuel de masse m, étudié dans un repère (O, x, y, z), supposé galiléen z étant la verticale, dirigée vers le haut. Ce corps est placé dans un champ de pesanteur, l'accélération de la pesanteur est g. Le corps est lancé depuis le point M₀(x₀, y₀, z₀) avec une vitesse initiale ${\overrightarrow{V}}_0$ faisant un angle α avec l'axe (Ox) ${\overrightarrow{V}}_0=\left(\begin{array}{c}{V}_{0}cos\alpha \\ 0\\ V_{0}sin\alpha \end{array}\right)$

On suppose ici qu’il n'y a pas de composante de vitesse suivant l'axe $\overrightarrow{y}$, tout le mouvement a donc lieu dans un plan parallèle au plan (xOz). On note t le temps.

Résolution de l'équation

La seule force à laquelle soit soumis le corps est la gravité (on peut affiner le problème en ajoutant par exemple le frottement dû à l'air).

On applique le principe fondamental de la dynamique au projectile :

$m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}$

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{g}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -g\end{array}\right)$

Pour en déduire la vitesse, il suffit d'intégrer l'accélération.

$\overrightarrow{V}(t)=\left(\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\\ -gt+C_3\end{array}\right)$ où C₁, C₂ et C₃ sont des constantes d'intégration, données par les conditions initiales.

En effet à t = 0 :

$\overrightarrow{V}(t=0)={\overrightarrow{V}}_0$,

soit $\left(\begin{array}{c}{C}_1\\ C_2\\ -g\times 0+C_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{V}_{0}cos\alpha \\ 0\\ V_{0}sin\alpha \end{array}\right)$ et donc $\{\begin{array}{c}{C}_1=V_{0}cos\alpha \\ C_2=0\\ C_3=V_{0}sin\alpha \end{array}$

On a donc :

$\overrightarrow{V}(t)=\left(\begin{array}{c}{V}_{0}cos\alpha \\ 0\\ -gt+V_{0}sin\alpha \end{array}\right)$

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, il faut intégrer la vitesse.

$\overrightarrow{OM}(t)=\left(\begin{array}{c}{V}_{0}cos\alpha t+C_4\\ C_5\\ -\frac{1}{2}g{t}^2+V_{0}sin\alpha t+C_6\end{array}\right)$

C₄, C₅ et C₆ sont (à nouveau) des constantes d'intégration qui seront déterminées à l'aide des conditions initiales.

À t = 0, $\overrightarrow{OM}(0)=\overrightarrow{O{M}_0}$

Donc $\left(\begin{array}{c}{V}_{0}cos\alpha \times 0+C_4\\ C_5\\ -\frac{1}{2}g\times 0^2+V_{0}sin\alpha \times 0+C_6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right).$
d'où $\overrightarrow{OM}(t)=\left(\begin{array}{c}{V}_{0}cos\alpha t+x_0\\ y_0\\ -\frac{1}{2}g{t}^2+V_{0}sin\alpha t+z_0\end{array}\right)$

Équation de la trajectoire

On choisit l'origine de manière à avoir $x_0=0$. On peut donner l'équation sous la forme z = f(x) (z est une fonction de x ) en remplaçant t dans l'équation de z par l’expression qu'on en tire dans l'équation de x, soit $t=\frac{x}{V_{0}cos\alpha }$

On obtient donc : $z(x)=-\frac{1}{2}g{\left(\frac{x}{V_0\cos \alpha }\right)}^2+V_0\sin \alpha \frac{x}{V_0\cos \alpha }+z_0$

Altitude maximale atteinte

Quand le projectile est au sommet de sa trajectoire, on a : $V_z=0$

$t=\frac{V_0\sin \alpha }{g}$

On reporte dans z(t) :

$h=-\frac{1}{2}g\frac{V_o^2{\sin }^2\alpha }{g^2}+\frac{V_o^2{\sin }^2\alpha }{g}$

Pour une vitesse initiale fixée, la plus grande flèche possible est obtenue quand $\sin \alpha =1$, c'est-à-dire pour un angle de tir de 90°.

Portée

On résout z(d)=0.

$-\frac{1}{2}\frac{g}{V_0^2{\cos }^2\alpha }{d}^2+\tan \alpha \times d=0$

$d(-\frac{1}{2}\frac{g}{V_0^2{\cos }^2\alpha }d+\tan \alpha )=0$

$d=\frac{2V_0^2{\cos }^2\alpha }{g}\tan \alpha =\frac{2V_0^2}{g}\cos \alpha \sin \alpha =\frac{V_0^2}{g}\sin 2\alpha$

La portée est maximale quand $\sin 2\alpha$ est maximal :

$\sin 2\alpha =1⟺2\alpha =\frac{\pi }{2}⟺\alpha =\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$

Pour une vitesse initiale fixée, la portée est maximale pour un angle de tir de 45°.

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