Équation du quatrième degré/Fonctions polynômes du quatrième degré

Dans ce chapitre, nous étudierons les courbes du quatrième degré. Nous verrons que l'allure générale du tracé d'une courbe du quatrième degré dépend principalement de deux éléments. Le premier élément est le signe du coefficient du terme de plus haut degré. Le deuxième élément est le discriminant du troisième degré de la dérivée de la fonction à étudier. Le discriminant du quatrième degré de la fonction n'intervient, quant à lui, seulement pour préciser le nombre de points d'intersection entre la courbe et l'axe des abscisses.

Définition des éléments nécessaires à l'étude des fonctions polynômes du quatrième degré

De la définition précédente, on déduit qu'une fonction polynôme du quatrième degré est définie sur $ℝ$ tout entier.

Le tableau de variation de la fonction du quatrième degré à étudier dépend uniquement du signe du terme de plus haut degré et de Δ'. Dans la suite de ce chapitre, nous distinguerons donc quatre cas selon le signe du coefficient du terme de plus haut degré et selon le signe de Δ'. Pour chacun des quatre cas nous tracerons les différentes courbes possibles associées au tableau de variation établi pour le cas considéré.

Premier cas : Le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est strictement positif

Dans le tableau suivant, nous avons représenté les trois allures possibles de la courbe sans considérer le repère.

Les 3 cas qui peuvent se présenter

a > 0	bModèle:Exp - 4abc + 8aModèle:Expd > 0	bModèle:Exp - 4abc + 8aModèle:Expd = 0	bModèle:Exp - 4abc + 8aModèle:Expd < 0

Pour fixer les idées, nous considérerons pour le tableau suivant que :

$b^3-4abc+8a^{2}d>0$.

Dans les autres cas, nous obtenons un tableau similaire.

On rappelle la définition du sottien Ψ de l'équation :

$\mathrm{\Psi }=2c^3+27a{d}^2+27b^{2}e-9bcd-72ace$.

La présence du sottien dans le tableau suivant est justifiée dans l'exercice 3-5.

Nous obtenons

Les 6 cas qui peuvent se présenter

a > 0	Δ < 0	Δ > 0	Δ = 0
Ψ > 0		Cas douteux	Cas douteux
Ψ < 0		Cas douteux

Nous allons analyser plus en détail les trois cas douteux apparaissant dans le tableau.

Premier cas : Δ > 0 et Ψ > 0

Nous pouvons avoir l'un des deux cas suivant :

Les 2 cas qui peuvent se présenter

a > 0	premier cas	deuxième cas

Pour le deuxième cas, la réciproque n’est pas vraie car on peut aussi avoir cette configuration avec Δ > 0 et Ψ < 0 comme indiqué dans le paragraphe suivant.

Deuxième cas : Δ > 0 et Ψ < 0

Alors nous avons :

Le seul cas qui peut se présenter

a > 0	premier cas

Mais la réciproque n’est pas vraie car nous avons déjà vu cette configuration dans le premier cas. C'est pour cela que nous avons préféré ne pas faire figurer ce cas dans le tableau.

Troisième cas : Δ = 0 et Ψ > 0

Nous pouvons avoir l'un des deux cas suivants :

Les 2 cas qui peuvent se présenter

a > 0	premier cas	deuxième cas

Dans le premier cas, nous avons une racine double et deux racines complexes conjuguées.

Dans le deuxième cas, nous avons une racine double et deux racines réelles.

Deuxième cas : le coefficient du terme de plus haut degré est positif et Δ' est négatif ou nul

Dans le tableau suivant, nous avons représenté les cinq allures possibles de la courbe sans considérer le repère.

Nous savons que les abscisses des points d'inflexion sont les racines de la dérivée seconde. Par conséquent, si le discriminant de la dérivée seconde est négatif, il n'y aura pas de point d'inflexion et si le discriminant de la dérivée seconde est positif, il n'y aura deux points d'inflexions. Nous avons donc, dans le tableau suivant, distingué ces deux cas selon le signe de δ".

Les 5 cas qui peuvent se présenter

a > 0	bModèle:Exp - 4abc + 8aModèle:Expd < 0	bModèle:Exp - 4abc + 8aModèle:Expd = 0	bModèle:Exp - 4abc + 8aModèle:Expd > 0
δ" < 0
δ" > 0		impossible

Pour fixer les idées, nous considérerons pour le tableau suivant que :

$b^3-4abc+8a^{2}d<0{\delta }^{″}>0$.

Dans les autres cas, nous obtenons un tableau similaire.

Les 3 cas qui peuvent se présenter

a > 0	Δ > 0	Δ = 0	Δ < 0
Δ' ≤ 0

Troisième cas : le coefficient du terme de plus haut degré est négatif et Δ' est strictement positif

Dans le tableau suivant, nous avons représenté les trois allures possibles de la courbe sans considérer le repère.

Les 3 cas qui peuvent se présenter

a < 0	bModèle:Exp - 4abc + 8aModèle:Expd > 0	bModèle:Exp - 4abc + 8aModèle:Expd = 0	bModèle:Exp - 4abc + 8aModèle:Expd < 0

Pour fixer les idées, nous considérerons pour le tableau suivant que :

$b^3-4abc+8a^{2}d<0$.

Dans les autres cas, nous obtenons un tableau similaire.

En posant :

$\mathrm{\Psi }=2c^3+27a{d}^2+27b^{2}e-9bcd-72ace$,

nous obtenons

Les 6 cas qui peuvent se présenter

a < 0	Δ < 0	Δ > 0	Δ = 0
Ψ > 0		Cas douteux
Ψ < 0		Cas douteux	Cas douteux

Nous allons analyser plus en détail les trois cas douteux apparaissant dans le tableau.

Premier cas : Δ > 0 et Ψ < 0

Nous pouvons avoir l'un des deux cas suivants :

Les 2 cas qui peuvent se présenter

a < 0	premier cas	deuxième cas

Pour le deuxième cas, la réciproque n’est pas vraie car on peut aussi avoir cette configuration avec Δ > 0 et Ψ > 0 comme indiqué dans le paragraphe suivant.

Deuxième cas : Δ > 0 et Ψ > 0

Alors nous avons :

Le seul cas qui peut se présenter

a < 0	premier cas

Mais la réciproque n’est pas vraie car nous avons déjà vu cette configuration dans le premier cas. C'est pour cela que nous avons préféré ne pas faire figurer ce cas dans le tableau.

Troisième cas : Δ = 0 et Ψ < 0

Nous pouvons avoir l'un des deux cas suivants :

Les 2 cas qui peuvent se présenter

a < 0	premier cas	deuxième cas

Dans le premier cas, nous avons une racine double et deux racines complexes conjuguées.

Dans le deuxième cas, nous avons une racine double et deux racines réelles.

Quatrième cas : le coefficient du terme de plus haut degré est négatif et Δ' est négatif ou nul

Dans le tableau suivant, nous avons représenté les cinq allures possibles de la courbe sans considérer le repère.

Nous savons que les abscisses des points d'inflexion sont les racines de la dérivée seconde. Par conséquent, si le discriminant de la dérivée seconde est négatif, il n'y aura pas de point d'inflexion et si le discriminant de la dérivée seconde est positif, il n'y aura deux points d'inflexions. Nous avons donc, dans le tableau suivant, distingué ces deux cas selon le signe de δ".

Les 5 cas qui peuvent se présenter

a > 0	bModèle:Exp - 4abc + 8aModèle:Expd < 0	bModèle:Exp - 4abc + 8aModèle:Expd = 0	bModèle:Exp - 4abc + 8aModèle:Expd > 0
δ" < 0
δ" > 0		impossible

Pour fixer les idées, nous considérerons pour le tableau suivant que :

$b^3-4abc+8a^{2}d>0{\delta }^{″}>0$.

Dans les autres cas, nous obtenons un tableau similaire.

Les 3 cas qui peuvent se présenter

a > 0	Δ > 0	Δ = 0	Δ < 0
Δ' <= 0