Théorie des groupes/Exercices/Groupes alternés

Problème. Centre d'un groupe alterné

Prouver que si n est un nombre naturel $\ge 4$, le centralisateur du groupe alterné $A_n$ dans $S_n$ est réduit à l'élément neutre. (A fortiori, le centre de $A_n$ est réduit à l'élément neutre.)

Problème. Contre-exemple à une réciproque du théorème de Lagrange

Prouver que le groupe alterné A₄, qui est d'ordre 12, n'a pas de sous-groupe d'ordre 6. (Cela montre qu'on ne peut pas énoncer cette réciproque du théorème de Lagrange : « Si d est un diviseur de l’ordre d'un groupe fini G, G admet un sous-groupe d'ordre d. »)

Problème. Un sous-groupe maximal n'est pas forcément d'indice premier

On a vu dans un [[../Groupes monogènes, ordre d'un élément/|exercice sur le chapitre Groupes monogènes, ordre d'un élément]] que si G est un groupe, si M est un sous-groupe normal et maximal de G, alors M est d'indice (fini) premier dans G. Prouver que ce n'est pas forcément vrai si on ne suppose pas que M est normal. (Indication : on a prouvé dans un précédent exercice que le groupe alterné A₄ n'a pas de sous-groupe d'ordre 6.) Modèle:Solution

Problème. Classes de conjugaison du groupe alterné A₄

a) Soit n un nombre naturel, soit $\sigma$ un élément de $A_n$; on suppose qu'il existe une permutation impaire $\lambda \in S_n$ telle que $\sigma ={\lambda }^{-1}\circ \sigma \circ \lambda$ (autrement dit, la permutation $\sigma$ est sa propre conjuguée par une permutation impaire dans $S_n$). Prouver que la classe de conjugaison de $\sigma$ dans $A_n$ est identique à sa classe de conjugaison dans $S_n$. Modèle:Solution b) Déterminer le nombre des classes de conjugaison dans le groupe alterné $A_4$. Pour chaque classe, préciser le cardinal de cette classe et en indiquer un élément. Modèle:Solution Remarque. Cet exercice nous servira dans un chapitre ultérieur ([[../Caractères irréductibles de quelques groupes/]]) pour déterminer les caractères complexes irréductibles du groupe $A_4$.

Problème. Sous-groupes simples de S_n

a) Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de G et S un sous-groupe simple de G. Prouver que S est contenu dans N ou isomorphe à un sous-groupe de G/N. (Indication : considérer le sous-groupe $S\cap N$ de S.) Modèle:Solution

b) Soient X un ensemble fini et G un sous-groupe de S_X comprenant au moins une permutation impaire. Prouver que G a au moins un sous-groupe d'indice 2. Plus généralement, prouver que si H est un groupe, s'il existe un homomorphisme $f$ de H dans un groupe symétrique fini $S_X$ et un élément $x$ de H tel que f(x) soit une permutation impaire, alors H a au moins un sous-groupe d'indice 2. Modèle:Solution Remarque. Le premier énoncé du point b) nous servira dans la suite du présent problème. Le second énoncé nous servira dans un problème de la série [[../Premiers résultats sur les groupes simples/|Premiers résultats sur les groupes simples]].

c) Soient X un ensemble fini et G un sous-groupe simple de S_X dont l’ordre est au moins égal à 3. Prouver de deux façons, l'une à l'aide du point a) et l'autre à l'aide du point b), que G est contenu dans A_X.

Modèle:Solution Remarque. L'énoncé c) nous servira pour démontrer dans le chapitre [[../../Premiers résultats sur les groupes simples|Premiers résultats sur les groupes simples]] que si un groupe simple G d'ordre au moins égal à 3 admet un sous-groupe propre d'indice fini n, G est isomorphe à un sous-groupe de A_n.

d) Soient n un nombre naturel impair et G un groupe d'ordre 2n. Prouver que G contient un sous-groupe d'ordre n. (Indication : utiliser le point b), en considérant un certain sous-groupe isomorphe à G dans le groupe S_E, où E désigne l’ensemble sous-jacent de G.)

Problème. Sous-groupes normaux de S_n

Prouver que si n est un nombre naturel distinct de 4, les sous-groupes normaux de S_n sont 1, A_n et S_n. Prouver que les sous-groupes normaux de S₄ sont 1, V, A₄ et S₄, où V désigne le sous-groupe

V = {1, (1 2) (3 4), (1 3) (2 4), (1 4) (2 3)} de S₄.

(Indication : on peut utiliser les résultats du chapitre théorique sur les sous-groupes normaux de A_n et le fait suivant, démontré dans un problème ci-dessus : si G est un groupe, N un sous-groupe normal de G et S un sous-groupe simple de G, alors S est contenu dans N ou isomorphe à un sous-groupe de G/N.)

Modèle:Solution Remarque. Le groupe quotient S₄/V est isomorphe à S₃.

Problème. Exemple de groupe simple infini

a) Soient X un ensemble fini, Y une partie de X et $\sigma$ une permutation de X dont le support est contenu dans Y. Il est clair que $\sigma$ induit une permutation $\sigma |Y:x\mapsto \sigma (x)$ de Y que nous appellerons la birestriction de $\sigma$ à Y. Montrer que $\sigma$ est une permutation paire de X si et seulement si $\sigma |Y$ est une permutation paire de Y.

b) Soient X un ensemble fini, Y une partie de X et $\sigma$ une permutation de X dont le support est contenu dans Y. Comme noté à la question précédente, $\sigma$ induit une permutation $\sigma |Y:x\mapsto \sigma (x)$ de Y que nous appelons la birestriction de $\sigma$ à Y. Montrer que $\sigma$ est un produit de cycles de longueur 3 de X si et seulement si $\sigma |Y$ est un produit de cycles de longueur 3 de Y. Modèle:Solution

Soit E l’ensemble (infini) des nombres naturels > 0. Comme pour un ensemble fini, on appelle transposition de E toute permutation $\tau$ de E pour laquelle il existe deux éléments distincts a, b de E tels que $\tau (a)=b$, $\tau (b)=a$ et $\tau (x)=x$ pour tout x distinct de a et de b. On désigne par $A_{\mathrm{\infty }}$ l’ensemble des permutations de E qui peuvent s'écrire comme produit d'un nombre pair de transpositions de E (non forcément deux à deux distinctes). C'est clairement un sous-groupe infini de S_E. On va prouver que ce groupe infini est simple.

c) Pour chaque nombre naturel n > 0, désignons par B_n le sous-groupe de $A_{\mathrm{\infty }}$ formé par les permutations $\in A_{\mathrm{\infty }}$ dont le support est contenu dans $\{1,\dots n\}$. Prouver que, pour tout élément $\sigma$ de B_n, la birestriction de $\sigma$ à $\{1,\dots n\}$ est une permutation paire de $\{1,\dots n\}$ et que B_n est isomorphe à A_n.

d) Soit $H=1$ un sous-groupe distingué de $A_{\mathrm{\infty }}$. En raisonnant sur le sous-groupe $H\cap B_n$ de B_n, montrer que $H=A_{\mathrm{\infty }}$, ce qui prouve que $A_{\mathrm{\infty }}$ est simple.

Problème. Groupes d'ordre 12 ayant plusieurs sous-groupes d'ordre 3.

Soit G un groupe d'ordre 12 ayant plusieurs sous-groupes d'ordre 3. Prouver que G est isomorphe à A₄. (Indication : faire opérer G par conjugaison sur l'ensemble des 3-Sylow de G et raisonner sur le noyau de l'homomorphisme correspondant à cette opération.) Modèle:Solution

Remarques. 1° L'énoncé du présent problème nous servira à classifier les groupes d'ordre 12 dans [[../Groupes dicycliques#Problème 4 (Classification des groupes d'ordre 12)|un exercice sur le chapitre des groupes dicycliques]].

2° Il nous servira aussi à prouver que tous les [[../../Intermède : groupes simples d'ordre 168#Section 3. Groupes simples d'ordre 168|groupes simples d'ordre 168]] sont isomorphes.

Problème. Sur certains groupes d'ordre 24

a) Soit G un groupe d'ordre 24 ayant plus d'un 3-sous-groupe de Sylow. Prouver que G est isomorphe à S₄ ou G/Z(G) isomorphe à A₄. (Indication : G opère par conjugaison sur l’ensemble E de ses 3-sous-groupes de Sylow. Raisonner sur le noyau de l'homomorphisme de G dans S_E correspondant à cette opération et appliquer un problème sur les sous-groupes de Sylow.)

b) Soit G un groupe d'ordre 24. On suppose que G a un sous-groupe normal d'ordre 4 qui est son propre centralisateur dans G. Prouver que G est isomorphe à S₄. (Indication : prouver que G a plus d'un sous-groupe d'ordre 3 et que son centre est réduit à l'élément neutre.)

c) Soit G un groupe d'ordre 24 admettant plus d'un 2-sous-groupe de Sylow et plus d'un 3-sous-groupe de Sylow. Prouver que G est isomorphe à S₄. (Indication. Il résulte du point a) que dans le cas contraire, G/Z(G) serait isomorphe à A₄. Un exercice sur les théorèmes de Sylow permet d'exprimer les 2-sous-groupes de Sylow de G/Z(G) en fonction des 2-sous-groupes de Sylow de G. En déduire que A₄ aurait plus d'un 2-sous-groupe de Sylow et conclure.) Modèle:Clr Modèle:Solution

Remarque. Le point b) nous servira à prouver que le groupe des automorphismes du groupe des quaternions est isomorphe à S₄. Le point c) nous servira dans le [[../../Intermède : groupes simples d'ordre 168|chapitre sur les groupes simples d'ordre 168]].