Approfondissement sur les suites numériques/Convergence

On ne traitera ici que de définitions et de conséquences immédiates de la convergence. Pour les théorèmes ou pour les opérations sur les limites, se référer plutôt à la leçon « Suites et récurrence ».

Limites et relation d'ordre

C'est un cas particulier d'un théorème analogue sur les fonctions.

On en déduit la propriété de passage à la limite dans les inégalités : Modèle:Corollaire

On utilise souvent ce théorème et son corollaire dans le cas où l'une des deux suites est constante. Par exemple, si une suite $(u_n)$ a pour limite $U$ alors, pour tout réel $V$ :

• si $U<V$, on a $u_n<V$ à partir d'un certain rang, ou encore (par contraposition) :
• si $V\le u_n$ pour une infinité d'indices $n$ (en particulier : si $V\le u_n$ à partir d'un certain rang), on a $V\le U$.

Unicité de la limite

Le théorème suivant légitime la notation $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{u}_n=$ introduite dans les définitions ci-dessus. Modèle:Théorème

Théorème de la limite monotone

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante Autrement dit (compte tenu du théorème précédent) :

• toute suite croissante et majorée converge ;
• toute suite croissante et non majorée tend vers $+\mathrm{\infty }$ ;
• toute suite décroissante et minorée converge ;
• toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\mathrm{\infty }$.

Suite de Cauchy

On dit qu'une suite numérique $(u_n)$ est de Cauchy si

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }p,q\ge N|u_p-u_q|\le \epsilon$,

c'est-à-dire si les termes de la suite $(u_n)$ tendent globalement à se rapprocher les uns des autres quand $n$ devient grand.

Une suite numérique converge si (et seulement si) elle est de Cauchy.