Initiation à l'élasticité/Déformations

Cinématique: étude du mouvement d'un corps $(x,\dot{x},\ddot{x},...)$. La cinématique est différente de la cinétique qui est l'étude des causes du mouvement.

Déplacement: Seule quantité que l’on peut mesurer.

Remarque

On ne mesure pas les forces, les contraintes ni les déformations.

[[Déformation: $ϵ=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}$ à généraliser.]]

Après déformation la nouvelle longueur est $L=L_0+\delta L$

$ϵ=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}$ On pose en général $L=L_0$

où $ϵ=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L_0+\mathrm{\Delta }L}$

Or on suppose $\mathrm{\Delta }L<<<<L_O$

Remarque : L et Lo sont mesurés dans la direction d'application des forces.

Sinon :

On ne sait pas calculer $ϵ$

Généralisation en 3D

I.Cinématique

1.Position

Soit un point de référence, par exemple l'origine du repère, et soit un point M de l'espace occupé par un volume élémentaire de référence P à l'instant t.

La position de $P=\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right).\left(\begin{array}{c}x\\ \theta \\ z\end{array}\right)$

2. Mouvement et déplacement

Au cours d'un déplacement un VER occupe une infinité de positions.

On considère seulement:

• l'état initial
• l'état final

Le mouvement est causé par l’application d'une force.

Un déplacement est la différence entre les positions finales et initiales des VER.

On peut définir le déplacement du VER au cours du mouvement par:

$\overrightarrow{u}(P)=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{O{M}_0}=\overrightarrow{M_{0}m}$

Remarque : On définit toujours la géométrie et on référence toujours les points du système dans sa position initiale.

$\overrightarrow{u}(\frac{d}{2},\theta ,z)=\left(\begin{array}{c}\frac{\mathrm{\Delta }d}{2}\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

3. Approximation de l'élasticité classique

Il y a beaucoup d'approximations mécaniques.

• On considère un système statique (accélération nulle)

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\gamma }=\overrightarrow{0}\mathrm{\forall }M\in V,(\overrightarrow{V}=\overrightarrow{cste})$

• On considère des petits déplacements $\to$ HPP: Hypothèse des Petites Perturbations.

Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{matrix} »): {\displaystyle  \begin{matrix} d = {{unité|10|cm}} \\ si L = {{unité|10|m}} \end{matrix} \, }

Cas de petites perturbations:

-Béton

-Bois

-Les métaux (sauf domaine plastique)

On tolère Modèle:Unité maxi par mètre de poutre. La variation de la distance entre 2 points de la poutre est de quelques micromètres.

Cas où l’on est pas dans l'hypothèse des petites perturbations:

$\to$ matériaux concernés :

- plastiques (mais pas tous) - liquides et fluides - domaine plastique des métaux

On a une linéarité géométrique. Par exemple une section très fine qui fait de petits efforts entraine une grande déformation (cas de géométrie particulière) Dans le cas des HPP: le déplacement $\overrightarrow{u}(M)$ est le champ de $\overrightarrow{v}$ déplacement infinitésimal à partir de l'état initial.

L'état final est infiniment proche de l'état initial.

L'intérêt est que l’on peut appliquer des règles de différenciation.

4.Tenseur de déformation

CINEMATIQUE POUR L’ELASTICITE ; LES DEFORMATIONS

Intro : « cinématique »

Décrire le mouvement d’un corps

→ cinématique du point → cinématique du solide → cinématique pour l’élasticité

≠ cinétique = (étude des causes du mouvement (les forces + PFD)) → prendre en compte le fait que le corps se déforme

mouvement solide (peut se déformer) mouvement rigide (pas de déformation)

On définit un état/configuration de référence.

Si la configuration change alors il y a déformation, distorsion ( on verra plus tard…) suppose qu'est dans la même direction que Final ? ou Initiale ?

RDM = L final → L initial → petits déplacements

Cinématique des transformations finies ne suppose pas que l’état final est proche de l’état initial (fluide - fabrication)

Pb de définition = dans une seule direction.

On veut décrire les déformations d’objet à géométrie complexe donc cette définition n’est pas suffisante.

Position et déplacement

Position

3D

M(x,y,z)

(r,θ,z)

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repère orthonormé

cartésien (x,y,z)

curviligne (r,θ,z)

La position de M est le vecteur $\overrightarrow{OM}$ où c’est l’origine du repère.

Cartésien

$\overrightarrow{OM}$ $\left|\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right|$

Cylindrique

$\overrightarrow{OM}$ $\left|\begin{array}{c}r\\ 0\\ 0\end{array}\right|$ $\overrightarrow{OM}$=r $\overrightarrow{e}$ _r M$\left|\begin{array}{c}r\\ \theta \\ z\end{array}\right|$

Notation

$\frac{\overrightarrow{r}}{\overrightarrow{p}}$=$\overrightarrow{OM}$

Vecteur déplacement

Soit une configuration de référence où le volume de matière considéré occupe le point M. Ce même volume occupe le point M’ pour la configuration final.

On compare seulement la position finale et initiale, on n’a pas besoin du temps.

$[\overrightarrow{u}(M)={\overrightarrow{OM}}^{\prime }-\overrightarrow{OM}]$

Approximation de l’élasticité classique

On considère que le système est statique tout le temps, pour la configuration initiale, pour la configuration finale mais aussi pour toutes les étapes intermédiaires. (Il est quasi statique pour les configurations intermédiaires)

- On applique ce que dit l’approximation des « petites déformations » qui devrait être appelée « petits déplacement » :

Mathématiquement, l’approximation des petits déplacements veut dire que $\overrightarrow{u}(M)$ est le champ de vecteur déplacement infinitésimale à partir de l’état initial (${\overrightarrow{OM}}^{\prime }\to \overrightarrow{OM}$ )

$\overrightarrow{OM}$ $\left|\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right|$ $\overrightarrow{u}(M)$= $\left|\begin{array}{c}dx\overrightarrow{u}\\ dy\overrightarrow{u}\\ dz\overrightarrow{u}\end{array}\right|$

Variation des déplacements autour d’un point

Variation du déplacement autour d’un point

Tenseur des déformations.

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B est très proche de A

$\overrightarrow{AB}$ $\left|\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right|$ $A,B\in V$

$A^{\prime },B^{\prime }\in V^{\prime }$

$A\to A^{\prime }$

$B\to B^{\prime }$ On suppose que $\overrightarrow{u}(A)$ est connu. Peut-on déterminer $\overrightarrow{u}(B)$ connaissant $\overrightarrow{u}(A)$ ? $[\overrightarrow{u}(B)=\overrightarrow{u}(A)+d\overrightarrow{u}(A)]$ $\overrightarrow{u}(x,y,z)$
$d\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}dux=\frac{\partial ux}{\partial x}dx+\frac{\partial ux}{\partial y}dy+\frac{\partial ux}{\partial z}dz\\ duy=\frac{\partial uy}{\partial x}dx+\frac{\partial uy}{\partial y}dy+\frac{\partial uy}{\partial z}dz\\ duz=\frac{\partial uz}{\partial x}dx+\frac{\partial uz}{\partial y}dy+\frac{\partial uz}{\partial z}dz\end{array}\right)$ $d\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial ux}{\partial x}\frac{\partial ux}{\partial y}\frac{\partial ux}{\partial z}\\ \frac{\partial uy}{\partial x}\frac{\partial uy}{\partial y}\frac{\partial uy}{\partial z}\\ \frac{\partial uz}{\partial x}\frac{\partial uz}{\partial y}\frac{\partial uz}{\partial z}\end{array}\right)$ $\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right)$ $[d\overrightarrow{y}=grad\overrightarrow{u}d\overrightarrow{x}]$ ou $\overrightarrow{OM}=\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\\ dz\end{array}\right)$ $=d\overrightarrow{x}$

$\overrightarrow{u}(B)=\overrightarrow{u}(A)+grad(\overrightarrow{u}(A))d\overrightarrow{x}$ On définit : $\widetilde{ϵ}=Sym(grad\overrightarrow{u})$ : tenseur des déformations

$\tilde{\omega }=Antisym(grad\overrightarrow{u})$ : tenseur rotation $grad(\overrightarrow{u})=\frac{1}{2}(grad\overrightarrow{u}+grad\overrightarrow{u}{}^T)+\frac{1}{2}(grad\overrightarrow{u}-grad\overrightarrow{u}{}^T)$ $[\widetilde{ϵ}=\frac{1}{2}(grad\overrightarrow{u}+grad\overrightarrow{u}{}^T)]$

$\tilde{\omega }=\frac{1}{2}(grad\overrightarrow{u}-grad\overrightarrow{u}{}^T)$

$grad\overrightarrow{\tilde{\omega }}=\widetilde{ϵ}+\tilde{\omega }$

$\overrightarrow{u}(B)=\overrightarrow{u}(A)+(\widetilde{ϵ}+\tilde{\omega })d\overrightarrow{x}$ $\widetilde{ϵ}\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial ux}{\partial x}& \frac{1}{2}(\frac{\partial ux}{\partial y}+\frac{\partial uy}{\partial x})& \frac{1}{2}(\frac{\partial ux}{\partial z}+\frac{\partial uz}{\partial x})\\ & \frac{\partial uy}{\partial y}& \frac{1}{2}(\frac{\partial uy}{\partial z}+\frac{\partial ux}{\partial y})\\ & & \frac{\partial uz}{\partial z}\end{array}\right)$ On a : $\overrightarrow{u}(B)=\overrightarrow{u}(A)+\widetilde{ϵ}d\overrightarrow{x}+\tilde{\omega }d\overrightarrow{x}$ Pourquoi $\tilde{\omega }d\overrightarrow{x}$ correspond à une rotation de corps rigide ?

$\tilde{\omega }\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}(\frac{\partial ux}{\partial y}-\frac{\partial uy}{\partial x})& B\\ -A& 0& C\\ -B& -C& 0\end{array}\right)$ 3 valeurs scalaires suffisent pour écrire $\tilde{\omega }$.

→ un vecteur suffirait pour décrire une matrice antisym.

Soit $\tilde{\omega }$ le vecteur dual de $\tilde{\omega }$ (antisymétrique)

$\tilde{\omega }=\frac{1}{2}rot\overrightarrow{u}$ On peut montrer que $\tilde{\omega }d\overrightarrow{x}=\tilde{\omega }1d\overrightarrow{x}$ (cf Devoir)

$\overrightarrow{u}(B)=\overrightarrow{u}(A)+(\widetilde{ϵ}+\tilde{\omega })d\overrightarrow{x}$ La décomposition du déplacement devient :

$[\overrightarrow{u}(B)=\overrightarrow{u}(A)+\tilde{\omega }1d\overrightarrow{x}]+\widetilde{ϵ}d\overrightarrow{x}$ Soit le torseur des petits déplacements :

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{\overrightarrow{\omega }}{\overrightarrow{u}})}_A$

$\overrightarrow{u}(B)=\overrightarrow{u}(A)+\overrightarrow{\omega }1\overrightarrow{AB}$ Un déplacement c’est un mouvement rigide

(translation + rotation) est une déformation.

Devoir

$Q=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ a& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

P : orthogonal $||P||=1=1-a^2$

$d\overrightarrow{u}\to 0\Rightarrow a\to 0$

Analyse du tenseur déformation

Exemple en traction pure

$ϵ=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}$

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Champ de déplacement

$U(x)(x,y,z)=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}x$

$U(y)(x,y,z)=0$

$U(z)(x,y,z)=0$ La façon la plus simple de décrire le déplacement de la barre $\widetilde{ϵ}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

${ϵ}_{xx}=\frac{\mathrm{\Delta }L}{L}$

Comment analyser le tenseur

Quelles informations pratiques peut-on obtenir avec $\widetilde{ϵ}$ ?

→ Variation de longueur ?

→ Variation de volume ?

→ Variation d’angle ?

(→ Variation de surface ?)

Filière de matière :

de direction $\overrightarrow{n}$ (vecteur unitaire)

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A et B points $\in V$ infiniment proche l’un de l’autre. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}\overrightarrow{n}$ en $M\in V$ on peut définir une infinité de fibre de direction $\overrightarrow{n}$ Remarque :

→ surface dS contrainte

→ fibre

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Résultats mathématiques :

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$\overrightarrow{B{B}^{\prime }}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ $\overrightarrow{B^{\prime }A}+\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BA}$

$=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}$ $d\overrightarrow{u}=\overrightarrow{U_B}-\overrightarrow{U_A}$

$=\overrightarrow{B^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$

$=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}$

Variation de longueur à partir de vecteur déformation et sa décomposition en allongement et glissement

$d\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}-\overrightarrow{AB}$

$d\overrightarrow{AB}=d(\overline{AB}\overrightarrow{n})=d(\overline{AB}\overrightarrow{n})+(\overline{AB}d\overrightarrow{n})$ D’autre part $\star$ donne $d\overrightarrow{AB}=d\overrightarrow{u}=(\widetilde{ϵ}+\tilde{\omega })d\overrightarrow{x}=\overline{AB}\overrightarrow{n}$

avec toujours $d\overrightarrow{AB}=d\overrightarrow{x}=\overline{AB}\overrightarrow{n}$ donc $[d\overline{AB}\overrightarrow{n}+\overline{AB}d\overrightarrow{n}=(\widetilde{ϵ}+\tilde{\omega })\overline{AB}\overrightarrow{n}]$ contient à la fois une déformation et un mouvement rigide On donne $\star$ par $\overline{AB}$ $\frac{d\overline{AB}}{\overline{AB}}\overrightarrow{n}+d\overrightarrow{n}=(\widetilde{ϵ}+\tilde{\omega })\overrightarrow{n}$ $d\overrightarrow{n}=d{\overrightarrow{n}}^{\widetilde{ϵ}}+d{\overrightarrow{n}}^{\tilde{\omega }}$ On regarde le mouvement rigide et la déformation : $\{\begin{array}{c}\frac{d\overline{AB}}{\overline{AB}}\overrightarrow{n}+d{\overrightarrow{n}}^{\widetilde{ϵ}}=\widetilde{ϵ}\overrightarrow{n}\\ d{\overrightarrow{n}}^{\tilde{\omega }}=\tilde{\omega }\overrightarrow{n}\end{array}$ On pose : $\overrightarrow{D}=\widetilde{ϵ}\overrightarrow{n}$ : vecteur déformation ($\widetilde{ϵ}$)

$\overrightarrow{g}=d{\overrightarrow{n}}^{\tilde{\omega }}$ : le glissement

$ϵ=\frac{d\overline{AB}}{AB}$ : l'allongement relatif $\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{n}+\overrightarrow{g}$ $\widetilde{ϵ}\overrightarrow{n}=ϵ\overrightarrow{n}+\overrightarrow{g}$ Remarque :

$\overrightarrow{n}.(ϵ\overrightarrow{n}+d{\overrightarrow{n}}^{\widetilde{ϵ}})=\widetilde{ϵ}\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n}$

$(\widetilde{ϵ}\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n}+d{\overrightarrow{n}}^{\widetilde{ϵ}}-\overrightarrow{n})=(\widetilde{ϵ}\overrightarrow{n})\overrightarrow{n}$ $\to [ϵ=(\widetilde{ϵ}\overrightarrow{n}).\overrightarrow{n}]$ On peut ainsi obtenir $ϵ=\frac{d\overline{AB}}{AB}$ en fonction de $\widetilde{ϵ}$ Interprétation de $ϵ\overrightarrow{n}+\overrightarrow{g}=\overrightarrow{D}=\widetilde{ϵ}\overrightarrow{n}$

$\overrightarrow{g}=d\overrightarrow{n}\widetilde{ϵ}\to$ rotation due à la déformation

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$\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{n}+\overrightarrow{g}$ Remarque : parallèle avec $\tilde{\sigma }$

$\tilde{\sigma }$ :

$\overrightarrow{C}=\tilde{\sigma }\overrightarrow{n}$
$\sigma =\overrightarrow{C}.\overrightarrow{n}$
$\tau =\overrightarrow{C}.\sigma \overrightarrow{n}$ $\widetilde{ϵ}$ :

$\overrightarrow{D}=ϵ\overrightarrow{n}$
$ϵ=\overrightarrow{D}.\overrightarrow{n}$
$\overrightarrow{g}=\overrightarrow{D}-ϵ\overrightarrow{n}$

Signification des termes de ɛ̃

Si on cherche l’allongement (relatif) et le glissement dans une direction $\overrightarrow{n}$ qui correspond au vecteur de base du repère. $\overrightarrow{n}\left|\begin{array}{c}\overrightarrow{i}\\ \overrightarrow{j}\\ \overrightarrow{k}\end{array}\right|$ $\overrightarrow{n}\left|\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right|$ $\overrightarrow{n}\left|\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right|$ $\overrightarrow{n}\left|\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right|$ $ϵ=(\widetilde{ϵ}\overrightarrow{n}).\overrightarrow{n}=\overrightarrow{D}.\overrightarrow{n}$ Soit $ϵ\left(\begin{array}{ccc}{ϵ}_{xx}& {ϵ}_{xy}& {ϵ}_{xz}\\ & {ϵ}_{yy}& {ϵ}_{yz}\\ & & {ϵ}_{zz}\end{array}\right)$ $\widetilde{ϵ}\overrightarrow{n}=\widetilde{ϵ}\left|\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}{ϵ}_{xx}\\ {ϵ}_{xy}\\ {ϵ}_{xz}\end{array}\right|=\overrightarrow{D}(M\overrightarrow{i})$ $ϵ=\overrightarrow{D}.\overrightarrow{n}=\left|\begin{array}{c}{ϵ}_{xx}\\ {ϵ}_{xy}\\ {ϵ}_{xz}\end{array}\right|.\left|\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right|={ϵ}_{xx}$ $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{j}\Rightarrow {ϵ}^{\overrightarrow{j}}={ϵ}_{yy}$ $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{k}\Rightarrow {ϵ}^{\overrightarrow{k}}={ϵ}_{zz}$ Les termes diagonaux de $\widetilde{ϵ}$ correspondent aux allongements relatifs dans la direction des vecteurs de la base dans laquelle est exprimé $\widetilde{ϵ}$ . ${\overrightarrow{g}}^{\overrightarrow{j}}=\overrightarrow{D}-ϵ\overrightarrow{n}=\left|\begin{array}{c}{ϵ}_{xx}\\ {ϵ}_{xy}\\ {ϵ}_{xz}\end{array}\right|-{ϵ}_{xx}\left|\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}0\\ {ϵ}_{xy}\\ {ϵ}_{xz}\end{array}\right|$

Variation de volume

Comment peut-on obtenir $\mathrm{\Delta }V$ à partir de $\widetilde{ϵ}$ ?

Soit dV centré sur M

dV $\to$ dV' (d(dV)=dv'-dv) Soit $\mathrm{\Delta }V$ la variation de volume entre V et V’

V: initial

V': final avec V et V’ des éléments de vol de référence (cad infiniments petits)

Soit $\widetilde{ϵ}$ en M et $\widetilde{ϵ}$ dans son repère principal. $\widetilde{ϵ}=\left(\begin{array}{ccc}{ϵ}_I& 0& 0\\ 0& {ϵ}_{II}& 0\\ 0& 0& {ϵ}_{III}\end{array}\right)$ ${ϵ}_I,{ϵ}_{II},{ϵ}_{III}$ déformations principales. Soit le volume V

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$V=dXdYdZ$
$V^{\prime }=d{X}^{\prime }d{Y}^{\prime }d{Z}^{\prime }$ $d{X}^{\prime }$ en fonction de $dXdYdZ$

$d{X}^{\prime }=dX+{ϵ}_{I}dX$

$d{Y}^{\prime }=dY+{ϵ}_{II}dY$

$d{Z}^{\prime }=dZ+{ϵ}_{III}dZ$

$V^{\prime }=(1+{ϵ}_I)(1+{ϵ}_{II})(1+{ϵ}_{III})(dxdydz)$ $V^{\prime }=V+V({ϵ}_I+{ϵ}_{II}{ϵ}_{III})+V({ϵ}_I{ϵ}_{II}+{ϵ}_I{ϵ}_{III}+{ϵ}_{II}{ϵ}_{III})+V({ϵ}_I{ϵ}_{II}{ϵ}_{III})$ $ϵ\to 0$ ${ϵ}_I{ϵ}_{II}\to 0$ $0({ϵ}_I{ϵ}_{II})$ << $0({ϵ}_I)$ $\frac{V^{\prime }-V}{V}={ϵ}_I+{ϵ}_{II}+{ϵ}_{III}$ $[\frac{dV}{V}=tr(\widetilde{ϵ})]$ Variation de volume local

Pour avoir la variation d’un volume V : $\mathrm{\Delta }V=\underset{v}{\iiint }tr(\widetilde{ϵ})dV$ $\widetilde{ϵ}\Rightarrow \mathrm{\Delta }L$ $\widetilde{ϵ}\Rightarrow \mathrm{\Delta }V$

Variation d’angle à partir de ɛ̃

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${ϵ}^{MN}$ = l’allongement relatif de la fibre MN

${ϵ}^{MP}$ = l’allongement relatif de la fibre MP

$\widetilde{ϵ}$ le tenseur des déformation en M

$\left|\begin{array}{c}{\overrightarrow{n}}^{MN}\\ {\overrightarrow{n}}^{MP}\end{array}\right|$ Vecteur unitaire qui représente la fibre

$d\phi =\frac{({ϵ}^{MN}+{ϵ}^{MP})cos\phi -2\widetilde{ϵ}{\overrightarrow{n}}^{MN}{\overrightarrow{n}}^{MP}}{sin\phi }$ ${ϵ}^{MN}=(\widetilde{ϵ}.{\overrightarrow{n}}^{MN}).{\overrightarrow{n}}^{MN}$ Distorsion pour les directions des vecteurs de base à $\widetilde{ϵ}$ connu. Soit $\widetilde{ϵ}(M)$ et on veut $d\phi$ Pour ${\overrightarrow{n}}^1\left|\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right|$ et ${\overrightarrow{n}}^2\left|\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right|$

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$\phi =\frac{\pi }{2}$

$sin\phi =1/cos\phi =0$ Donc $d\phi =-2\widetilde{ϵ}{\overrightarrow{n}}^1{\overrightarrow{n}}^2$
$=-2(\widetilde{ϵ}{\overrightarrow{n}}^1).{\overrightarrow{n}}^2$
$=-2\left(\begin{array}{c}{ϵ}_{xx}\\ {ϵ}_{xy}\\ {ϵ}_{xz}\end{array}\right){\overrightarrow{n}}^2$
$=-2{ϵ}_{xy}$ Si $d{\phi }^{{\overrightarrow{e}}^{x}et{\overrightarrow{e}}^y}=-2{ϵ}_{xy}$ Les termes non diagonaux du tenseur des déformations donnent la variation d’angle des vecteurs de base du repère.
Conclusion analyse de $\widetilde{ϵ}$ (cf poly TD)

$\widetilde{ϵ}=\frac{1}{2}(grad\overrightarrow{u}+grad{\overrightarrow{u}}^T)$

$\overrightarrow{D}=\widetilde{ϵ}\overrightarrow{n}=ϵ\overrightarrow{n}+\overrightarrow{g}$

$ϵ=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{n}=(\widetilde{ϵ}\overrightarrow{n}).\overrightarrow{n}$

$\overrightarrow{g}=\overrightarrow{D}-ϵ\overrightarrow{n}$ $\widetilde{ϵ}$ est symétrique donc il admet 3 déformations principales et des directions principales et invariants.

Avec $\widetilde{ϵ}$ on peut calculer la variation de longueur $\frac{\mathrm{\Delta }l}{l}=ϵ$ Calculer une variation de volume $\frac{\mathrm{\Delta }V}{V}\approx Trace(\widetilde{ϵ})$ Calculer une variation d’angle $d\phi =...$ Calculer une variation d’aire

Condition aux limites en déplacement

Soit S la surface de volume, certains points de S ont des déplacements connus (ou imposé) .

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Surface
$x=0$

$\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ $\overrightarrow{C}$
?
$\overrightarrow{u}$
0 Exemple : un objet posé sur une table

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Quel frottement ? = pas de frottement

Si on néglige strictement la gravité, pas de CL sur la surface | z = 0 Souvent on ne prend pas en compte la gravité dans l’équilibre, mais on la considère pour les CL. Surface

z = 0

$\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ $\overrightarrow{C}$
$\overrightarrow{u}$

$Ux=?$

$Uz>0$

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CL au niveau du contact ? Pour tout point tel que ${\overrightarrow{u}}^{sphere}={\overrightarrow{u}}^{massif}$ Difficultés pour exprimer les CL