Initiation à l'élasticité/Élasticité linéaire

Introduction

Le but de ce chapitre est pour une pièce sollicitée dont on connait :

• Les conditions limites,
• La géométrie,
• Le matériau.

Déterminer $\tilde{\sigma },\widetilde{ϵ},\overrightarrow{n}$ en tout point de la pièce.

Nécessité d'une loi de comportement

les inconnues sont les suivantes :

• ${\tilde{\sigma }}_{s}ym\to 6inconnues$
• ${\tilde{\sigma }}_{s}ym\to 6inconnues$
• $\tilde{\omega }\to 3inconnues$

Ce qui fait un total de 15 inconnues

les équations sont les suivantes:

• $\widetilde{ϵ}=(\frac{1}{2}(grad\overrightarrow{n}+{grad}^T\overrightarrow{n})\to 6equations$
• $PFS:div(\tilde{\sigma })=0\to 3equations$

Ce qui fait un total de 9 equations

Il manque 6 équations, il faudrait une relation entre $\tilde{\sigma }$ et $\widetilde{ϵ}$. Cette relation s’appelle la loi de comportement et elle est fonction du matériau.

Modélisation de la loi de comportement

Modélisation :

• Expérimentale
• Analyse théorique

Expérience : éprouvette en traction

On trace

$\tilde{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}\sigma & 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ $\begin{array}{c}\sigma =\frac{F}{S}\\ ϵ=\frac{L-L_0}{L_0}\end{array}$ Traction seule jusqu'à rupture :

Cycle charge / décharge :

On définit plusieurs zones :

• Zone 0A : partie linéaire, zone élastique.
  • le retour suit le même chemin que le chargement,
  • c’est un phénomène réversible,
  • pour un métal on parle d'élasticité linéaire,
  • limite au point A :
    • ${\sigma }_E=$ limite élasticité
    • ${\sigma }_P=$ limite proportion
    • ${\sigma }_y=$ yield stress

Dans ce cours on suppose que le matériau est élastique linéaire si $\sigma >{\sigma }_E$ , les hypothèses ne sont plus vérifiées.

• Zone AB :
  • zone plastique
  • phénomène irréversible
  • AB: fluage : déformation à $\sigma$ constante (liquides); on parle d'écoulement plastique.
• Zone BC: écrouissage: ${F_M}^2>{\sigma }_E$, la limite élastique a augmenté.
• Zone CD : rupture.

Les propriétés plastiques sont modélisables. On peut utiliser ces modélisations dans le domaine nucléaire et pour l'aéronautique spatiale et civile. On définit les coefficients de sécurité $\sigma <\frac{\sigma }{k}$

• $k=1:\sigma <{\sigma }_E$
• $k=2:\sigma <\frac{{\sigma }_E}{2}$
• $k=0,8:$ plasticité ($\sigma <\frac{{\sigma }_E}{0,8}\sim \sigma >{\sigma }_E$ donc plastique)

III. Élasticité classique

La loi de comportement évoquée ici est la plus simple et la plus utilisée.

1) Hypothèses

• Homogénéité : La loi de comportement est la même en tout point du volume.
• Isotrope : La loi de comportement est la même dans toutes les directions en un point donné.
• Elasticité : Un milieu est dit élastique s'il existe un état du système dit état neutre pour lequel $\tilde{\sigma }=\tilde{0}$ en tout point et si le tenseur $\tilde{\sigma }$ est une fonction bijective du tenseur $\widetilde{ϵ}:\to bijective$ : si $\tilde{\sigma }=\overrightarrow{f}(\widetilde{ϵ})$ alors

État neutre: $\tilde{\sigma }=\tilde{0}\mathrm{\forall }M\in V$

2) Loi de Hooke

Équation de l'élasticité classique/linéaire :

$\begin{array}{c}\tilde{\sigma }=\lambda tr(\widetilde{ϵ})\tilde{I}-2G\widetilde{ϵ}\\ \widetilde{ϵ}=\frac{1+U}{E}\tilde{\sigma }-\frac{U}{E}tr(\tilde{\sigma })\tilde{I}\end{array}$

On veut une équation linéaire entre

$\tilde{\sigma }$

et

$\widetilde{ϵ}$

, on écrit:

$\tilde{\sigma }=A\widetilde{ϵ}+B$

On simplifie pour arriver à la loi de Hooke : si $\tilde{\sigma }=0,\widetilde{ϵ}=0\Rightarrow B=0+symetrie;isotropie\to loideHooke$

$\Rightarrow \lambda ,\nu ,G,E$ ; coefficient de Lamé (constantes du matériau)

Avec:

• $\lambda$ : coefficient de Lamé (Pa)
• $\nu$ : coefficient de Poisson
• $G$ : appelé aussi $\mu$, module de cisaillement ou de glissement (Pa)
• $E$ : module de Young (Pa)

IV. Conséquences sur les hypothèses d'élasticité classique

1) Directions principales de $\tilde{\sigma }$ et de $\widetilde{ϵ}$

Comme le milieu (le matériau) est isotrope on peut montrer que les directions principales de $\tilde{\sigma }$ et de $\widetilde{ϵ}$ sont les mêmes en particulier pour un matériau élastique linéaire.

• $\tilde{\sigma }=Atr(\widetilde{ϵ})+B\widetilde{ϵ}$
• $\widetilde{ϵ}=Ctr(\tilde{\sigma })\tilde{I}+D\tilde{\sigma }$

si $\tilde{\sigma }$ est diagonal alors $\widetilde{ϵ}$ l'est aussi.

2)Principe de superposition

• Soit un volume V, sollicité par des efforts, et on a ${{\tilde{\sigma }}_M}^1$ et ${{\widetilde{ϵ}}_M}^1$ en tout M de V.
• Soit le même volume, sollicité par d'autres efforts on a ${{\tilde{\sigma }}_M}^2$ et ${{\widetilde{ϵ}}_M}^2$.

Si on applique $a{S}^1+b{S}^2$, où a, b sont des constantes, sur le volume V, alors la linéarité de la loi de comportement dit que:

$\begin{array}{c}\tilde{\sigma }=a{\tilde{\sigma }}^1+b{\tilde{\sigma }}^2\\ \widetilde{ϵ}=a{\widetilde{ϵ}}^1+b{\widetilde{ϵ}}^2\end{array}$ Exemple : si on connait $\tilde{\sigma }$ et $\widetilde{ϵ}$ en tout point de V on a :

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$\tilde{\sigma }=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& T\end{array}\right)\Rightarrow$ Si on multiplie la sollicitation par K (constante) on a

$\tilde{\sigma }=K.\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& T\end{array}\right)$

Pour les calculs en éléments finis on applique des sollicitations telles que $||\overrightarrow{F}||=1$ si possible.

IV. Résolution d’un problème en élasticité linéaire

On connait :

• la géométrie de la pièce : $(\overrightarrow{V},s,\overrightarrow{n});$
• Le matériau : LDC élasticité $\to \lambda ,G,E,U$
• Les conditions limites : les $\sigma$ appliquées par l’extérieur sur la pièce et les déplacements imposés (équation).
• La force de volume.

En théorie on peut résoudre le problème, c'est-à-dire trouver $\tilde{\sigma },\widetilde{ϵ}et\overrightarrow{n}$ en tout point M de V.
En pratique il faut trouver la solution d’un équation différentielle qui a peu de solutions analytiques.

On dispose d’outils numériques pour résoudre (éléments finis). Parfois les solutions sont très longues à obtenir.

Il faut analyser le problème pour essayer de trouver une simplification.

1. Analyse de la géométrie

Choix du repère

Le choix du repère influe sur les calculs.

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Il faut orienter les axes de manière à ce qu’ils soient parallèles aux faces extérieures et / ou aux sollicitations.

Il faut adapter le type de repère à la géométrie :

• géométrie cylindrique : repère cylindrique.
• géométrie sphérique : repère sphérique.

Axes de symétrie (éléments finis)

S’il existe des axes de symétrie dans la pièce on peut réduire le volume sur lequel on fait le calcul.

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On réduit comme cela les temps de calcul.

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Conditions limites sur les axes de symétrie :

1. $\overrightarrow{u}=\begin{array}{c}{u}_x=0\\ u_y=?\\ u_z=?\end{array}$
2. $\overrightarrow{u}=\begin{array}{c}{u}_x=?\\ u_y=0\\ u_z=?\end{array}$

Réduction de l’espace

• en 3d :

$\tilde{\sigma }\to \left(\begin{array}{ccc}x& x& x\\ ⋮& x& x\\ \cdots & \ddots & x\end{array}\right)$

$\widetilde{ϵ}\to \left(\begin{array}{ccc}x& x& x\\ ⋮& x& x\\ \cdots & \ddots & x\end{array}\right)$

$\overrightarrow{u}\to \left|\begin{array}{c}x\\ x\\ x\end{array}\right|$

Problème à 1 dimension : poutre en traction

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Où $\overrightarrow{T}$ est l’effort. $\tilde{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}\frac{T}{S}& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\to 10:\sigma =\frac{T}{S}$ $\widetilde{ϵ}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{T}{ES}& 0& 0\\ 0& -\frac{T\mu }{ES}& 0\\ 0& 0& -\frac{T\mu }{ES}\end{array}\right)\to LDC:\sigma =E.ϵ$

LDC: Loi de Hooke: $\sigma =E.\mathrm{E}$

En réalité les problèmes à une dimension n'existent pas, mais pour les poutres on ne s'occupe pas de ${\mathrm{E}}_{yy}$ et de ${\mathrm{E}}_{zz}$

L'allongement

$\frac{\partial U_x}{\partial x}=\frac{T}{ES};U_x=\frac{T}{ES}.x+K$

et $K=0car{U}_x(0)=0$

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$U_x(L)=\frac{T}{ES}.L,\left\{\begin{array}{c}\\ ϵ=\frac{\delta L}{L}\end{array}\right\}$

Problème en 2 dimensions : Cas des plaques et des coques

On est dans le cas d'un volume plan tel qu'une des dimensions est largement inférieure aux autres dimensions.

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Simplifications possibles

• Les plaques ne sont pas sollicitées dans la direction des épaisseurs

$\tilde{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha & 0\\ \alpha & \alpha & 0\\ \alpha & \alpha & 0\end{array}\right)$

$<\tilde{\sigma }\to plan$ Une plaque est un état plan de contraintes.

• Les plaques sont localement des états plans de contraintes :

État plan de contraintes

Un état plan de déformations est défini comme ceci : $\widetilde{ϵ}=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha & 0\\ \alpha & \alpha & 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$ Dans ce cas là on a une déformation plane en (x, y, z) et $\widetilde{ϵ}$ a une valeur nulle. Il y a une partie du système qui est bloquée en déplacement dans une direction sur une section.

Exemple

Il n’y a pas de déplacement suivant $\overrightarrow{z}$ , les déplacements suivant (x, y ) sont indépendants de $\overrightarrow{z}$

On étudie le problème sur une des sections de la 3D, c’est donc une étude en 2D.

Exemples

Cylindre plein en compression :

Caractéristiques du cylindre :

• Rayon R
• Hauteur L
• Pas de frottement entre le cylindre et les plaques
• Cylindre composé d’un matériau élastique de caractéristiques$E,V,\lambda ,etG$

On veut trouver $\tilde{\sigma },\widetilde{ϵ}et\overrightarrow{u}$ du cylindre.

• Définition de V : 3 surfaces
• Étude géométrique :
  • des sollicitations : $\overrightarrow{F}$ dans l’axe du cylindre
  • de V : cylindre.

On a donc une géométrie cylindrique avec axe de symétrie de révolution. On fait donc le choix d’un repère cylindrique.

Conditions limites :

• Face r = R.
  • $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$
  • $\overrightarrow{C}=\overrightarrow{0}$
• Face y = 0 (cartésien)

           Z=0 (cylindrique)

• • $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 0\end{array}\right)$
  • $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_x=?\\ u_0=0\\ u_2=0\end{array}\right)$
• Face $\begin{array}{c}y=L\\ z=L\end{array}$
  • $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ , $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_x\\ u_{\theta z}=0\\ u_z\end{array}\right)$ $\overrightarrow{C}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{-F}{S}\end{array}\right)$

On place les points pour définir le plan tels que

• R= 0
• $\overrightarrow{u}=\begin{array}{c}{u}_r=0\\ u_{\theta }=0\\ u_y=1\end{array}$

$u_{\theta }=0$ car il n’y a pas de variation géométrique ni de sollicitation suivant $\theta$

Le problème est indépendant suivant $\theta$ et$u_{\theta }=0$ pour tout M appartenant à V.

$\overrightarrow{u}=\begin{array}{c}{u}_r(r,y)\\ 0\\ u_y(r,y)\end{array}$

$u_r$ est indépendant de y et $u_y$est indépendant de r. On a donc $\overrightarrow{u}=\begin{array}{c}{u}_r(r)\\ 0\\ u_y(y)\end{array}$

Que peut-on déduire pour $\tilde{\sigma }$ : analyse des conditions limites

• $\overrightarrow{C}=\overrightarrow{0}$ sur face r=R , $\overrightarrow{x}=\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\Rightarrow \tilde{\sigma }.\overrightarrow{x}=0$ sur cette face et

$\left\{\begin{array}{c}{\sigma }_r(R,y)=0\\ {\sigma }_{x\theta }(R,y)=0\\ {\sigma }_{xy}(R,y)=0\end{array}\right\}$

• Face $\overrightarrow{x}=\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}$ ,$\overrightarrow{C}=\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{-F}{S}\end{array}$, ${\sigma }_{xy}={\sigma }_{\theta y}=0$ et ${\sigma }_{yy}=\frac{-F}{S}$

D’après la géométrie, les sollicitations on voit que tout est indépendant de r et de y, donc $\tilde{\sigma }$ n’est pas fonction de r et de y. Donc $\tilde{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}cste& cste& cste\\ cste& cste& cste\\ cste& cste& cste\end{array}\right)$ pour tout M appartenant à V. Les conditions limites nous donnent : $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& cste& 0\\ 0& 0& \frac{-F}{S}\end{array}\right)$ comment déduire ${\sigma }_{yy}$

• À l’équilibre on a $div(\tilde{\sigma })=\overrightarrow{0}(car\overrightarrow{f}=\overrightarrow{0})\Rightarrow {\sigma }_{yy}=0$

On a donc $\tilde{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{-F}{S}\end{array}\right)$ Remarque $\widetilde{ϵ}$ est obtenu avec la loi de Hooke : $\widetilde{ϵ}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\mu }{E}\frac{F}{S}& 0& 0\\ 0& \frac{\mu }{E}\frac{F}{S}& 0\\ 0& 0& \frac{1+\mu }{E}\frac{-F}{S}+\frac{\mu }{E}\frac{F}{S}=\frac{-F}{ES}\end{array}\right)$

On rappelle que $\overrightarrow{u}=\begin{array}{c}{u}_r(r)\\ 0\\ u_y(y)\end{array}$ On applique en cylindrique :

$\widetilde{ϵ}=\frac{1}{2}(grad(\overrightarrow{u})+{grad}^T(\overrightarrow{u}))$

a/ $\frac{\partial u_r}{\partial r}=\frac{\mu }{E}\frac{F}{S}$

b/ $\frac{u_r}{r}=\frac{\mu }{E}\frac{F}{S}$

c/ $\frac{\partial u_y}{\partial y}=\frac{-F}{SE}$

On a donc $\begin{array}{c}{u}_r=\frac{\mu F}{ES}r+K\\ u_{\theta }=0\\ u_y=\frac{-F}{SE}y+K\end{array}$ Solution du problème

$\overrightarrow{u}=\begin{array}{c}\frac{\mu F}{ES}r\\ 0\\ \frac{-F}{SE}y\end{array}$

$\tilde{\sigma }=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{-F}{S}\end{array}\right)$

$\widetilde{ϵ}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\mu }{E}\frac{F}{S}& 0& 0\\ 0& \frac{\mu }{E}\frac{F}{S}& 0\\ 0& 0& \frac{-F}{ES}\end{array}\right)$