Initiation à l'élasticité/Principe fondamental de la statique

Introduction

L'objectif est de déterminer $\tilde{\sigma }$ en tout point M de V.

Le principe fondamental de la statique est l'équation mécanique qui gouverne les systèmes sollicités. On cherche à écrire le PFS avec $\tilde{\sigma }$ pour pouvoir utiliser les équations pour résoudre le problème.

Expression globale

On parle d'expression globale car l'équation concerne l’ensemble du volume considéré.

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On veut le PFS pour un volume V. On fait le bilan des sollicitations:

• Forces de surface: elles peuvent être exprimées par des vecteurs contraintes dont la résultante est égale aux efforts appliqués.
• Forces de volume : elles sont appliquées par unité de volume.

Exemple

• Forces de surface: on les traduit en contraintes en considérant la surface sur laquelle elles sont appliquées.

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• Forces de volume: le poids.

Objet = Modèle:Unité

masse volumique $\rho$

Poids de l'objet: $\overrightarrow{g}.{\int }_V\rho \mathrm{d}V$

Soit S' la surface de S pour laquelle on calcule les sollicitations et les vecteurs contraintes appliqués (définis par les conditions limites).

Les sollicitations extérieures sont définies par $\overrightarrow{C_{ext}}$ sur S' et par $\overrightarrow{f}$ la force de volume exprimée par unité de volume.

On veut écrire le PFS pour V:

• Forces :

$\underset{S^{\prime }}{\int }\overrightarrow{C_{e}xt}\mathrm{d}S+\underset{V}{\int }\overrightarrow{f}\mathrm{d}V=0$

• Moments: On écrit l'équilibre des moments par rapport à 0 (origine d'un repère (O, x, y, z) orthonormé).

Soit $M\in V\overrightarrow{OM}$ position de M.

• • Moment de $\overrightarrow{C}/0$ :

$\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{C}$, M point d'application de C.

$\underset{S^{\prime }}{\int }\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{C^{ext}}.\mathrm{d}S+\underset{V}{\int }\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{f}\mathrm{d}V=0$

On veut faire apparaitre $\tilde{\sigma }$:

On a $\overrightarrow{C^{ext}}=\tilde{\sigma }.\overrightarrow{n^{ext}}$

$\overrightarrow{n^{ext}}\to$ normal à S'

Forme globale du PFS

$\underset{S^{\prime }}{\int }\overrightarrow{OM}\wedge (\tilde{\sigma }.\overrightarrow{n^{ext}})\mathrm{d}{S}^{\prime }+\underset{V}{\int }(\overrightarrow{OM}\wedge \overrightarrow{f})\mathrm{d}V=0$

Cette équation est valable pour tout système mécanique statique. Cependant ce qui nous intéresse est la forme locale.

Forme locale du PFS

La forme locale est déterminée à partir de la forme globale, elle est utile pour les calculs en analytique.

Théorème de la divergence

[[[Analyse_vectorielle/Divergence#Théorème_de_la_divergence|Théorème de la divergence]]]

$\underset{S}{\int }\tilde{\sigma }.\overrightarrow{n}\mathrm{d}V=\underset{V}{\int }div(\tilde{\sigma })\mathrm{d}V=0$ où $\overrightarrow{n}$ est le vecteur perpendiculaire à S.

$\underset{S}{\int }[\overrightarrow{f}+div(\tilde{\sigma })]\mathrm{=}0$ le PFS est vrai pour tout V et pour tout V' inclus dans V.

alors: $\overrightarrow{f}+div(\tilde{\sigma })=0$

Modèle:Coloré

$\overrightarrow{f_M}+div({\tilde{\sigma }}_M)=\overrightarrow{0}$

On a une symétrie de $\tilde{\sigma }$

La forme locale est un outil mathématique qui traduit l'équilibre d'un système.