Formulation relativiste de l'électromagnétisme/Le tenseur champ électromagnétique

Nouvelle forme des équations du mouvement

On peut exprimer l'équation du mouvement sous une autre forme en écrivant directement la stationnarité de l'action :

$\delta S=\delta (\underset{a}{\overset{b}{\int }}(-mcds-q\tilde{A}\cdot d\tilde{x}))=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[mc{a}_{\mu }+q(\frac{\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}-\frac{\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }})u^{\nu }]\delta x^{\mu }ds=0$

où $\tilde{u}=\frac{d\tilde{x}}{ds}$ est la quadri-vitesse et $\tilde{a}=\frac{d\tilde{u}}{ds}$ est la quadri-accélération.

La relation $\delta S=0$ est vérifiée quelle que soit la trajectoire $\delta \tilde{x}$ si le terme entre crochet est nul, c'est-à-dire si :

$mc{a}_{\mu }=-q(\frac{\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}-\frac{\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }})u^{\nu }$

On introduit alors le tenseur $F_{\mu \nu }=\frac{\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}-\frac{\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}$

et l'équation du mouvement s'écrit

$mc{a}_{\mu }=q{F}_{\mu \nu }{u}^{\nu }$

Expression du tenseur $F_{\mu \nu }$

Le tenseur $F_{\mu \nu }$ est antisymétrique par définition, il y a donc 6 composantes à calculer. En utilisant la définition de $\tilde{A}$ et les relations

$𝐄=-𝐠𝐫𝐚𝐝\varphi -\frac{\partial 𝐀}{\partial t}$

$𝐁=𝐫𝐨𝐭𝐀$

on trouve l’expression du tenseur :

$F_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& E_x/c& E_y/c& E_y/c\\ -E_x/c& 0& -B_z& B_y\\ -E_y/c& B_z& 0& -B_x\\ -E_z/c& -B_y& B_x& 0\end{array}\right)$

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