Formulation relativiste de l'électromagnétisme/Équations du mouvement

La donnée du Lagrangien de la particule plongée dans le champ permet de déterminer son impulsion,son énergie, et l'équation de son mouvement.

Impulsion généralisée

Par définition, $𝐏=\frac{\partial ℒ}{\partial 𝐯}$

d'où, après calcul,

$𝐏=\frac{m𝐯}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+q𝐀=𝐩+q𝐀$

avec $𝐩$ l'impulsion relativiste de la particule (partie spatiale de la quadri-impulsion).

Énergie

Par définition, $E=𝐏\cdot 𝐯-ℒ$

d'où, après calcul :

$E=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}+q\varphi$

Équation du mouvement

Il s'agit de l'équation de Lagrange :

$\frac{d}{dt}\frac{\partial ℒ}{\partial 𝐯}-\frac{\partial ℒ}{\partial 𝐫}=\mathrm{𝟎}$

On a d’une part $\frac{d}{dt}\frac{\partial ℒ}{\partial 𝐯}=\frac{d𝐏}{dt}=\frac{d𝐩}{dt}+q\frac{d𝐀}{dt}=\frac{d𝐩}{dt}+q\frac{\partial 𝐀}{\partial t}+q(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐀$

Et d’autre part $\frac{\partial ℒ}{\partial 𝐫}=q\frac{\partial }{\partial 𝐫}(𝐀\cdot 𝐯)-q\frac{\partial \varphi }{\partial 𝐫}$

or $\frac{\partial }{\partial 𝐫}(𝐀\cdot 𝐯)=(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })𝐯+(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐀\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐯)+𝐯\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐯\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$

d'où $\frac{\partial ℒ}{\partial 𝐫}=q[(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐀+𝐯\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)]-q\mathrm{\nabla }\varphi$

et l'équation du mouvement est donc :

$\frac{d𝐩}{dt}=-q\mathrm{\nabla }\varphi -q\frac{\partial 𝐀}{\partial t}+q𝐯\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=q𝐄+q𝐯\times 𝐁$

On retrouve bien l’expression de la force de Lorentz $𝐅=q𝐄+q𝐯\times 𝐁$