Dynamique des fluides compressibles/Vitesse du son

Équations d'onde, vitesse du son

L'écoulement est supposé irrotationnel et parfait, et on traite les champs comme des perturbations de l'état stationnaire uniforme :

$P(\overrightarrow{r},t)=P_0+p(\overrightarrow{r},t)$

$\mu (\overrightarrow{r},t)={\mu }_0+\delta \mu (\overrightarrow{r},t)$

$p(\overrightarrow{r},t)$, $\delta \mu (\overrightarrow{r},t)$ et $\overrightarrow{v}(\overrightarrow{r},t)$ sont des infiniment petits du premier ordre.

Les équations décrivant un tel écoulement sont :

$\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}=-\frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}p;\frac{\partial p}{\partial t}=-\frac{1}{{\chi }_T}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{v}$

(où ${\chi }_T$ est le coefficient de compressibilité isotherme.)

D'où l’on tire les équations d'onde :

$\frac{{\partial }^{2}p}{\partial t^2}-\frac{1}{{\mu }_0{\chi }_T}\mathrm{\Delta }p=0;\frac{{\partial }^2\overrightarrow{v}}{\partial t^2}-\frac{1}{{\mu }_0{\chi }_T}\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}=0$

(en utilisant $\overrightarrow{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ).

On en déduit la vitesse du son :

$c=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{\chi }_T}}$

Démonstration

Pour la première équation, on part de l'équation d'Euler (on néglige la viscosité et la gravité) : $\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\overrightarrow{v}=-\frac{1}{\mu }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}p$

Au premier ordre, $(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\overrightarrow{v}$ est négligé devant $\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}$, et on a $\frac{1}{\mu }\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}p=\frac{1}{{\mu }_0}(1-\frac{\delta \mu }{{\mu }_0}+...)\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}p\approx \frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}p$. On en déduit l'équation utilisée, dite équation d'Euler linéarisée.

L'autre relation est issue de la définition du coefficient de compressibilité isotherme :

${\chi }_T=-\frac{1}{V}{\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)}_T=\frac{1}{\mu }{\left(\frac{\partial \mu }{\partial P}\right)}_T\approx \frac{1}{\mu }\frac{\delta \mu }{p}\Rightarrow \delta \mu \approx \mu {\chi }_{T}p\approx {\mu }_0{\chi }_{T}p$

On a ensuite, avec l'équation de conservation de la masse : $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{v}=-\frac{1}{\mu }\frac{\partial \mu }{\partial t}\approx -\frac{1}{{\mu }_0}\frac{\partial (\delta \mu )}{\partial t}\approx -{\chi }_T\frac{\partial p}{\partial t}$