Théorie générale du choix et des préférences/Modellizzazione delle preferenze

Sia $X\subseteq {ℝ}_{+}^n$, l'insieme di consumo, dove $n\in \mathbb{N}$ è il numéro di beni disponibili. I vettori $𝐱\in X$, di dimensione $n$, sono i possibili panieri di consumo a disposizione dei consumatori, ed i loro elementi, $x_l\in {ℝ}_{+}$, sono la quantità di bene $l\in \mathbb{N}$ consumata.

• In questo tipo di formalizzazione matematica stiamo implicitamente assumendo che tutti i beni siano perfettamente divisibili, infatti le quantità appartengono all'insieme dei reali.
• Altra questione è la definizione di bene: come facciamo a distinguere un bene dall'altro? Il "cellulare" è un bene? O bisogna indetificare la marca? E il colore? E il luogo d'acquisto? E il tempo in cui il bene è disponibile? Gli stati di natura (pioggia o sole, ad esempio)? In pratica, a seconda dell'applicazione che si sta facendo del modello, sarà necessario stabilire il livello di aggregazione dei beni.

Sia $\succcurlyeq$ una Relazione binaria definita come: $𝐱\succcurlyeq 𝐲$ se $𝐱$ è debolmente preferito a (o "almento tanto buono quanto") $𝐲$.

Definiamo inoltre la preferenza stretta: $𝐱\succ 𝐲\iff 𝐱\succcurlyeq 𝐲\wedge 𝐲\succcurlyeq ̸𝐱$ e l'indifferenza: $𝐱\sim 𝐲\iff 𝐱\succcurlyeq 𝐲\wedge 𝐲\succcurlyeq 𝐱$

Finora non abbiamo fatto alcuna assunzione sulla struttura delle preferenze, a parte la perfetta divisibilità dei beni. Quello che abbiamo ottenuto è un modo di rappresentare le preferenze del generico consumatore: questo metodo di rappresentazione, però, non è molto maneggevole dal punto di vista matematico. Quello che invece risulterebbe comodo avere è una funzione di utilità tale che: $𝐱\succcurlyeq 𝐲\iff u\left(𝐱\right)\ge u\left(𝐲\right)$ dove $u\left(𝐱\right):X\to ℝ$

In sostanza tale funzione di utilità assegna a ciascun paniere un numéro in modo tale che un paniere, $𝐱$, è debolmente preferito ad un altro, $𝐲$, se e solo se il numéro associato al primo è maggiore o uguale al numéro associato al secondo.

Passiamo ora a vedere quali sono le assunzioni necessarie al fine di ottenere una funzione di utilità.