Équation du troisième degré/Exercices/Résolution de problèmes du troisième degré
Modèle:Exercice Modèle:Définition
Exercice 7-1
On dispose d'un récipient cylindrique et d'une boule. Pour pouvoir mettre aisément la boule dans le récipient, le rayon de sa base fait trois centimètres de plus que le rayon de la boule. On commence par mettre de l'eau dans le récipient à une hauteur supérieure au diamètre de la boule et ensuite, on y trempe la boule de façon à ce que celle-ci soit totalement immergée (la boule ne flotte pas et va au fond du récipient). On constate alors que le niveau de l'eau a augmenté de cinq centimètres par rapport à ce qu’il était avant d'y mettre la boule.
Calculer la valeur exacte du rayon de la boule et en déduire une valeur approchée au millimètre près de celui-ci.
Exercice 7-2
Soit une sphère de rayon Modèle:Unité. Soit un plan interceptant la sphère et coupant ainsi la sphère en deux parties de volumes différents. Calculer la distance de ce plan au centre de la sphère de façon à ce que le volume de la partie de la sphère contenant le centre soit le double de la partie de la sphère ne contenant pas le centre.
Exercice 7-3
Un iceberg dont la forme peut être considérée comme parfaitement sphérique culmine à une hauteur h = Modèle:Unité au-dessus du niveau de la mer.
Calculer le rayon R de cet iceberg sachant que la masse volumique de l'eau de mer en cet endroit est de Modèle:Unité par mètre cube et que la masse volumique de la glace constituant l'iceberg est de Modèle:Unité par mètre cube.
Exercice 7-4
Dans ce problème, on considérera que la force d'attraction de deux aimants est inversement proportionnelle au cube de leur distance.
On considère deux aimants qui, dans leur position initiale, sont distants de Modèle:Unité et soumis à une force d'attraction F.
- Première question : Lorsque l’on diminue la distance de ces deux aimants de Modèle:Unité, la force d'attraction augmente d'une valeur f. De combien faut-il éloigner les deux aimants à partir de leur position initiale pour que la force d'attraction diminue de la valeur f ?
- Deuxième question: Si, à partir de la position initiale, on diminue leur distance d'une certaine valeur d, la force d'attraction est multipliée par trois. Par contre, si l'on augmente la distance de la même valeur d, la force d'attraction diminue de 1 newton. En déduire la force initiale F.
Exercice 7-5
Un triangle a un périmètre de Modèle:Unité. Le rayon de son cercle circonscrit est de Modèle:Unité et le rayon de son cercle inscrit est de Modèle:Unité.
Calculer la longueur de ses trois côtés (on exprimera cette longueur au dixième de millimètre près).
Exercice 7-6
Une certaine quantité d'eau est mise dans un premier récipient cylindrique.
Cette eau est ensuite transvasée dans un deuxième récipient cylindrique dont le rayon de la base mesure un centimètre de moins que le rayon du premier récipient. On constate alors que le niveau de l'eau dans le second récipient arrive à une hauteur supérieure de quatre centimètres à la hauteur qu'elle avait dans le premier récipient.
On transvase ensuite à nouveau l'eau dans un troisième récipient dont le rayon de la base mesure un centimètre de plus que le rayon du premier récipient. On constate cette fois que le niveau de l'eau dans le troisième récipient atteint à une hauteur inférieure de trois centimètres à la hauteur qu'elle avait dans le premier récipient.
Calculer le rayon de la base du premier récipient.