Mécanique du solide/Exercices/Étude d'un anémomètre

Étude d'un anémomètre

Dans un anémomètre, l’ensemble mobile (S), en rotation autour de l'axe vertical ascendant Oz du repère galiléen orthonormé direct $ℛ$ = (Oxyz), est constitué d'un rotor et de trois pales identiques disposées à 120° l'une de l'autre (figures 1 et 2).

Figure 1 (perspective)	Figure 2 (dans le plan Oxy)

Le rotor est un cylindre, d'axe Oz, de rayon a et de centre d’inertie O.

Chaque pale est constituée d'une tige et d'une plaque. La figure 1 montre, en perspective, l'une d'elles qui est constituée par :

• une tige AB contenue dans le plan Oxy, de longueur a, soudée en A au rotor dans le prolongement du rayon OA (ainsi $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$) ;
• une plaque $B^{\prime }{B}^{″}{C}^{″}{C}^{\prime }$, homogène, carrée de côté 2a, soudée à la tige en B ; les cotés $B^{\prime }{C}^{\prime }$ et $B^{″}{C}^{″}$ sont parallèles à la tige et les cotés $B^{\prime }{B}^{″}$ et $C^{″}{C}^{″}$, de milieux respectifs B et C, sont verticaux.

On note :

• M la masse totale de l’ensemble (S),
• $\overrightarrow{g}=-{\overrightarrow{gu}}_z$ l'accélération de la pesanteur (g constante positive),
• $\theta =({\overrightarrow{u}}_x$, $\overrightarrow{AB}$) l'angle définissant la position de (S) par rapport à $ℛ$,
• ${\overrightarrow{u}}_r=\frac{\overrightarrow{OA}}{a}$ et ${\overrightarrow{u}}_{\theta }={\overrightarrow{u}}_z\wedge {\overrightarrow{u}}_r$
• J le moment d'inertie de l’ensemble mobile (S) par rapport à l'axe Oz.

La rotation de l’ensemble mobile est provoquée par un jet de fluide situé sur la droite x=2a du plan Oxy et orienté vers les y croissants. L'action de ce jet sur la plaque $B^{\prime }{B}^{″}{C}^{″}{C}^{\prime }$ est représentée, pour $-\frac{\pi }{3}\le \theta \le \frac{\pi }{3}$ par une force aérodynamique $\overrightarrow{F}$ :

$\overrightarrow{F}=\lambda F_0\sin \theta {\overrightarrow{u}}_r+F_0\cos \theta {\overrightarrow{u}}_{\theta }$

s'appliquant au point M d'impact du jet sur cette plaque (cf. figure 2). F₀ et λ sont des constantes positives.

Il est tenu compte du frottement de (S) sur l'axe Oz selon 4 hypothèses :

• (H1) pas de frottement ;
• (H2) frottement solide : le moment en O de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) est

${\overrightarrow{ℳ}}_{FS}=-f\frac{a}{2}\lambda F_0|\sin \theta |{\overrightarrow{u}}_z$

où f est une constante positive (coefficient de frottement solide) ;

• (H3) frottement visqueux : le moment en O de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) est

${ℳ}_{FV}=-\alpha \dot{\theta }{\overrightarrow{u}}_z$

où α est une constante positive (coefficient de frottement visqueux).

• (H4) frottement solide (H2) et frottement visqueux (H3) : le moment en O de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) est ${ℳ}_{FS}+{ℳ}_{FV}$.

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1. a. Calculer le moment en O de la force aérodynamique pour $-\frac{\pi }{3}\le \theta \le \frac{\pi }{3}$ par une force aérodynamique $\overrightarrow{F}$.

b. Montrer que ce moment est indépendant de la position de l’ensemble mobile (S).

2. a. Montrer que le centre d'inertie de l’ensemble mobile (S) est en O.

b. Déterminer la force la résultante $\overrightarrow{R}$ de l'action de l'axe Oz sur (S) (action de liaison) pour $-\frac{\pi }{3}\le \theta \le \frac{\pi }{3}$ par une force aérodynamique $\overrightarrow{F}$.

c. Représenter graphiquement la variation de la composante R_x de $\overrightarrow{R}$ sur ${\overrightarrow{R}}_x$ en fonction de θ pour une rotation de (S) d'un tour complet.

3. On se place dans l'hypothèse (H3).

Déterminer l’expression de la vitesse angulaire ${\dot{\theta }}_t$ en prenant comme condition initiale $\dot{\theta }(0)=0$.

4. On se place dans l’hypothèse (H4).

a. Établir l'équation différentielle vérifiée par ${\dot{\theta }}_t$.

b. Les conditions initiales du mouvement sont : $\theta (0)={\theta }_{(0)},\dot{\theta }(0)=0$. Quelle condition, dépendant de λ et

${\theta }_0$ , doit satisfaire le coefficient de frottement f pour qu’il y ait mise en mouvement de (S) ? Discuter cette

condition quand θ varie de $-\frac{\pi }{3}\le \theta \le \frac{\pi }{3}$ par une force aérodynamique $\overrightarrow{F}$.

5. Calculer la variation de ${\dot{\theta }}_2$ pour une rotation d'un tour complet de l’ensemble mobile (S).

a. dans l'hypothèse (H1) (pas de frottement) ;

b. dans l'hypothèse (H2) (frottement solide seul).

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