Espace euclidien/Exercices/Espaces euclidiens

Exercice 1-1

L'application Q définie sur ${ℝ}^3$ par

$Q\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=3x^2-5y^2+3xz$

est-elle une forme quadratique ? Modèle:Solution

Exercice 1-2

Soit $A\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$ vérifiant : $\mathrm{\forall }X\in {\mathrm{M}}_{n,1}(ℝ){}^{\mathrm{t}}XAX=0$.

Que dire de $A$ ? Modèle:Solution

Exercice 1-3

Soit $A=(a_{i,j})\in {\mathrm{O}}_n(ℝ)$.

1. Montrer que $\left|\sum _{i,j}{a}_{i,j}\right|\le n$ et $\sum _{i,j}|a_{i,j}|\le n^{3/2}$.
2. Étudier les cas d'égalité si $n>1$.

Exercice 1-4

Soient $\alpha \in {ℝ}^{*}$ et $v\in E\setminus \{0\}$. Soit $f:E\to E,x\mapsto x+\alpha ⟨x\mid v⟩v$.

Montrer que $f$ est autoadjoint, puis déterminer α pour que $f$ soit une isométrie. Modèle:Solution

Exercice 1-5

Soit $f\in \mathrm{L}(E)\setminus \{0\}$ vérifiant $\mathrm{\forall }(x,y)\in E^{2}x\perp y\Rightarrow f(x)\perp f(y)$.

Montrer que $f$ est une similitude vectorielle, c'est-à-dire le produit d'un élément de $\mathrm{O}(E)$ par un réel strictement positif. Modèle:Solution

Exercice 1-6

Soient $E={ℝ}_2[X]$ et $\varphi :E^2\to ℝ,(P,Q)\mapsto P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)$.

1. Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$.
2. Déterminer le plan $G=(X^2+X{)}^{\mathrm{\perp }}$.
3. Déterminer une base de ce plan.

Modèle:Solution On munit $E={ℝ}_2[X]$ du produit scalaire canonique ($⟨P_1,P_2⟩=a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2$ pour $P_i=a_i+b_{i}X+c_i{X}^2$). Soit $F=(X-1){ℝ}_1[X]$.

1. Déterminer $F^{\perp }$.
2. Quel est le projeté orthogonal de $X^2+1$ sur $F$ ?

Exercice 1-7

Soient $E$ un espace euclidien et $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{G}\mathrm{L}(E)$.

Définir sur $E$ un nouveau produit scalaire, de telle façon que son groupe orthogonal contienne $G$. Modèle:Solution

Exercice 1-8

Soit $E$ un espace euclidien de dimension n. On notera ${𝒬}^{++}(E)$ l'ensemble des formes quadratiques définies positives sur $E$ et ${𝒮}^{++}(E)$ l'ensemble des formes bilinéaires symétriques définies positives sur $E$. Si $q\in 𝒬(E)$, on pose $N(q)=\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }|q(x)|$.

1. Vérifier que $N$ est une norme sur $𝒬(E)$.
2. Soit $q_0\in {𝒬}^{++}(E)$. Montrer que $m:=\underset{\Vert x\Vert =1}{\inf }{q}_0(x)>0$ puis que $\mathrm{\forall }q\in 𝒬(E)N(q-q_0)<m\Rightarrow q\in {𝒬}^{++}(E)$.
3. En déduire que ${𝒬}^{++}(E)$ est un ouvert de $𝒬(E)$, donc que ${𝒮}^{++}(E)$ est un ouvert de $𝒮(E)$.

Exercice 1-9

1. Soient $u\in {𝒮}^{+}(E)$ et $\lambda \in {ℝ}_{+}$. Montrer que $\ker (u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=\ker (u^p-{\lambda }^p{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$.
2. Soient $u\in 𝒮(E)$ et $\lambda \in ℝ$. Montrer que $\ker (u-\lambda {\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)=\ker (u^{2p+1}-{\lambda }^{2p+1}{\mathrm{i}\mathrm{d}}_E)$.
3. Soient $A,B\in {𝒮}_n$. Montrer que $A^{2k+1}=B^{2k+1}\Rightarrow A=B$.
4. Soient $A,B\in {𝒮}_n^{+}$. Montrer que $A^k=B^k\Rightarrow A=B$.

Exercice 1-10

Soit $(E,⟨,⟩)$ un espace euclidien (non réduit au vecteur nul). On pose

$\phi (x,y)=a⟨x,x⟩+b⟨x,y⟩+c⟨y,y⟩$.

Pour quelles valeurs de $a,b,c\in ℝ$ $\phi$ est-elle un produit scalaire sur $E$ ? Modèle:Solution

Exercice 1-11

Dans les deux cas suivants, montrer que l'application $\varphi :E^2\to ℝ$ est un produit scalaire sur $E$ et déterminer la norme euclidienne associée.

1. $E=\{P\in {ℝ}_n[X]\mid P(0)=P(1)=0\}$ et $\mathrm{\forall }(P,Q)\in E^2\varphi (P,Q)=-\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(P(t)Q^{″}(t)+P^{″}(t)Q(t))\mathrm{d}t$ ;
2. $E={ℝ}_2[X]$ et $\mathrm{\forall }(P,Q)\in E^2\varphi (P,Q)=P(0)Q(0)+P^{\prime }(0)Q^{\prime }(0)+P^{″}(0)Q^{″}(0)$.

Exercice 1-12

1. À l'aide du produit scalaire $\varphi$ défini à la question 1 de l'exercice 1-10, montrer que

   $\mathrm{\forall }(x_1,x_2,y_1,y_2)\in {ℝ}^4(x_1{y}_1+x_2{y}_1+x_1{y}_2+2x_2{y}_2{)}^2\le (x_1^2+2x_1{x}_2+2x_2^2)(y_1^2+2y_1{y}_2+2y_2^2)$.

2. Montrer que pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ :
   1. $\sum _{k=1}^{n}k\sqrt{k}\le \frac{n(n+1)\sqrt{2n+1}}{2\sqrt{3}}$ ;
   2. $\mathrm{\forall }(x_k{)}_{1\le k\le n}\in {{ℝ}_{+}^{*}}^n\left(\sum _{k=1}^n\frac{1}{x_k}\right)\sum _{k=1}^n{x}_k\ge n^2$.

Exercice 1-13

Pour $A\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$, on pose $N(A)=\sqrt{\mathrm{Tr}{(}^{t}AA)}$. Montrer que :

1. $N$ est une norme associée à un produit scalaire ;
2. cette norme est matricielle, c'est-à-dire vérifie $N(AB)\le N(A)N(B)$ (pour toutes matrices $A$ et $B$ de ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$).

Exercice 1-14

Dans ${ℝ}^4$ muni du produit scalaire usuel, on pose : $v_1=(1,2,-1,1)$, $v_2=(0,3,1,-1)$ et $F=\mathrm{Vect}(v_1,v_2)$.

Déterminer une base orthonormée de $F$ et un système d'équations de $F^{\mathrm{\perp }}$. Modèle:Solution

Exercice 1-15

Soient $(a_i{)}_{1\le i\le n},(b_i{)}_{1\le i\le n}\in {ℝ}^n$, on pose $f(x)=\sum _{i=1}^n(a_i+b_{i}x{)}^2$.

1. Montrer qu'il existe des réels $A,B,C$ (à déterminer) tels que $f(x)=A{x}^2+Bx+C$.
2. Étudier le signe de $f$, calculer son discriminant, et en déduire les inégalités :
   1. $\left|\sum _i{a}_i{b}_i\right|\le \sqrt{\sum _i{a}_i^2}\times \sqrt{\sum _i{b}_i^2}$ (Cauchy-Schwarz)
   2. $\sqrt{\sum _i(a_i+b_i{)}^2}\le \sqrt{\sum _i{a}_i^2}+\sqrt{\sum _i{b}_i^2}$ (Minkowsky).

Voir aussi

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