Recherche:Méthode de Sotta/Application aux équations de degré trois

__EXPECTED_UNCONNECTED_PAGE__ Modèle:Chapitre

Nous allons, dans ce chapitre, étudier la méthode de Sotta dans le cas particulier des équations de degré 3. Cette méthode possède la particularité de présenter les solutions de l'équation à résoudre sous une forme différente de celle donnée par la méthode de Cardan. Dans un premier paragraphe, nous étudierons la résolvante de Sotta, qui est un polynôme de degré inférieur ou égal à 2 associé à l'équation à résoudre et qui possède un certain nombre de propriétés assez remarquables. Dans un second paragraphe, nous rentrerons dans les détails de la méthode permettant de résoudre toutes les équations du troisième degré.

Dans tout ce chapitre,

$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$

est un polynôme de degré 3.

Étude préliminaire de la résolvante de Sotta

Les coefficients $A,B,C$ les plus simples possibles, dépendant polynomialement de $a,b,c,d$, tels que :

$\{\begin{array}{cc}A\frac{c}{3}+B\left(\frac{-b}{3}\right)+Ca& =0\\ A(-d)+B\frac{c}{3}+C\left(\frac{-b}{3}\right)& =0\end{array}$

sont :

$\{\begin{array}{ccc}A& =9\left|\begin{array}{cc}\frac{-b}{3}& a\\ \frac{c}{3}& \frac{-b}{3}\end{array}\right|& =b^2-3ac\\ B& =9\left|\begin{array}{cc}a& \frac{c}{3}\\ \frac{-b}{3}& -d\end{array}\right|& =bc-9ad\\ C& =9\left|\begin{array}{cc}\frac{c}{3}& \frac{-b}{3}\\ -d& \frac{c}{3}\end{array}\right|& =c^2-3bd\end{array}$

Si $A\ne 0$, la suite $(a,\frac{-b}{3},\frac{c}{3},-d)$ est ainsi le début d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2, d'équation caractéristique $A{X}^2+BX+C=0$. C'est ce qui motive la définition suivante. Modèle:Définition

Modèle:Propriété Dans cet énoncé, le « discriminant » Δ_R désigne le nombre $B^2-4AC$ où $A,B,C$ sont les coefficients du polynôme R, qui peut être de degré < 2.

D'après la propriété 2 :

• ΔModèle:Ind est inchangé lorsqu'on effectue dans f une translation de la variable. Remarquons à cette occasion qu'il en est de même pour le coefficient A de R (cf. exercice 2-9 de la leçon sur les équations de degré 3).
• f a une racine multiple si et seulement si A = B = 0 ou R est de degré 2 et a une racine double. Mais cette équivalence sera précisée et redémontrée plus loin.

Les deux propriétés suivantes n'ont pas non plus grand intérêt car elles supposent les racines de f connues et en déduisent celles de R. Modèle:Propriété Modèle:Démonstration déroulante

Bien plus utile est la réciproque suivante : Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante

On peut, accessoirement, remarquer aussi les trois cas particuliers suivants : Modèle:Corollaire Modèle:Démonstration déroulante

Mais la propriété suivante se démontre directement et généralise le corollaire 3 : Modèle:Propriété Modèle:Démonstration déroulante Dans le plan complexe, les racines sont alors aux sommets d'un triangle équilatéral (l'exercice 2-7 de la leçon sur les équations de degré 3 démontre la réciproque), qui dégénère en un point (racine triple) si de plus B = 0 (c'est-à-dire si R = 0) puisqu'alors, $\frac{d}{a}=\frac{bc}{9a^2}={\left(\frac{b}{3a}\right)}^3$.

Déroulement de la méthode

Avant de former la résolvante de Sotta, nous devons préalablement nous assurer que son coefficient de plus haut degré, A, n’est pas nul.

Toutefois, si A est nul, nous pouvons faire appel à la propriété 5 du paragraphe précédent pour conclure que :

$x_k=-\frac{b}{3a}+{\mathrm{j}}^k\sqrt[3]{{\left(\frac{b}{3a}\right)}^3-\frac{d}{a}}$.

Nous pouvons à présent former la résolvante de Sotta :

$R(X)=(b^2-3ac)X^2+(bc-9ad)X+(c^2-3bd)$.

Alors, R a soit une racine double, soit deux racines simples.

Si R a une racine double θ, on utilisera simplement la propriété 3 du paragraphe précédent pour conclure que f a la même racine double θ et ses trois racines sont alors :

$x_0=x_1=\theta ,x_2=-\frac{b}{a}-2\theta$.

Si R a deux racines simples α et β, nous utiliserons le théorème principal ci-dessus. Les trois racines de f sont alors :

$x_k=\frac{\alpha -\beta {\mathrm{j}}^k\sqrt[3]{\frac{b+3\alpha a}{b+3\beta a}}}{1-{\mathrm{j}}^k\sqrt[3]{\frac{b+3\alpha a}{b+3\beta a}}}$.

Algorithme de la méthode

• Si $A=0$ : $x_k=-\frac{b}{3a}+{\mathrm{j}}^k\sqrt[3]{{\left(\frac{b}{3a}\right)}^3-\frac{d}{a}}$ ;
• sinon, calculer ${\mathrm{\Delta }}_R=B^2-4AC$ ;
  • si ${\mathrm{\Delta }}_R=0$ : $x_0=x_1=-\frac{B}{2A},x_2=-\frac{b}{a}-2x_0$ ;
  • sinon, calculer $\alpha ,\beta =\frac{-B\pm \sqrt{{\mathrm{\Delta }}_R}}{2A}$ ; $x_k=\frac{\alpha -\beta {\mathrm{j}}^k\sqrt[3]{\frac{b+3\alpha a}{b+3\beta a}}}{1-{\mathrm{j}}^k\sqrt[3]{\frac{b+3\alpha a}{b+3\beta a}}}$.

Cas particulier où le coefficient du terme de degré 1 de la résolvante de Sotta est nul

Nous avons vu comment résoudre une équation dans laquelle l'un des coefficients A, B, C de la résolvante est nul. On applique :

• si A = 0 : la propriété 5 ;
• si C = 0 : le corollaire 1 ;
• si B = 0 : le corollaire 2.

Attardons-nous sur le troisième cas.

Étude du cas particulier

Une méthode trigonométrique (qui sort du champ de la méthode de Sotta) fournit les solutions réelles d'une équation du troisième degré :

$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$

dans laquelle le coefficient du terme de degré 1 de la résolvante de Sotta est nul, c'est-à-dire vérifie :

$bc-9ad=0$.

Elle est exposée dans le chapitre 6 de la leçon sur les équations de degré 3. On y distingue 3 cas :

• si a et c sont de signes contraires, on effectue un changement de variable en tangente, qui fournit les trois solutions réelles ;
• si le coefficient du terme de degré 2 de la résolvante est négatif (ac > bModèle:Exp/3), on effectue un changement de variable en tangente hyperbolique, qui fournit la solution réelle ;
• si a et c sont de même signe et si le coefficient du terme de degré 2 de la résolvante est positif (0 < ac < bModèle:Exp/3), on effectue un changement de variable en cotangente hyperbolique, qui fournit la solution réelle.

Généralisation

Si une équation du troisième degré a une résolvante de Sotta de degré 2, il est sûr que l’on ne pourra pas appliquer la propriété 5. Toutefois (cf. chapitre 6 de la leçon sur les équations de degré 3) :

Cette proposition nous permet donc de résoudre (complètement, par le corollaire 2, ou partiellement, par la méthode trigonométrique mentionnée ci-dessus) toutes les équations de degré 3 ne vérifiant pas l'hypothèse A = 0 de la propriété 5.

Modèle:Remarque Cette remarque nous permet donc de résoudre (par le corollaire 1) toutes les équations de degré 3 ne vérifiant pas l'hypothèse A = 0 de la propriété 5.