Variables aléatoires continues/Loi de Cauchy

Présentation

La loi de Cauchy, ou loi de Lorentz, est un exemple simple de loi n'admettant pas d'espérance, ni de moment d'ordre supérieur.

Définition

La loi de Cauchy est une loi de probabilité pour les variables aléatoires continues.

On la définit au moyen d'une densité de probabilité (voir le chapitre 1).

Fonctions de densité

Densité de la loi de Cauchy, pour différentes valeurs de $x_0$ et $a$.

La fonction de densité d'une loi de Cauchy rappelle celle d'une loi normale, à savoir une forme de cloche, mais avec un étalement plus large. Modèle:Clr

Moments et médiane

Moments

En particulier, une loi de Cauchy n'admet aucune espérance formellement. Toutefois :

$\underset{-X}{\overset{+X}{\int }}\frac{a}{\pi }\frac{x}{a^2+(x-x_0{)}^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a\pi }\underset{\frac{-X-x_0}{a}}{\overset{\frac{X-x_0}{a}}{\int }}\frac{at+x_0}{1+t^2}a\mathrm{d}t=\frac{1}{\pi }\underset{\frac{-X-x_0}{a}}{\overset{\frac{X-x_0}{a}}{\int }}\frac{t}{1+t^2}\mathrm{d}t+\frac{1}{\pi }\underset{\frac{-X-x_0}{a}}{\overset{\frac{X-x_0}{a}}{\int }}\frac{x_0}{1+t^2}\mathrm{d}t$

donc

$\underset{X\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-X}{\overset{+X}{\int }}\frac{a}{\pi }\frac{x}{a^2+(x-x_0{)}^2}\mathrm{d}x=x_0$, ce qui laisse penser à une espérance, et le paramètre $x_0$ est souvent considéré comme tel.

Médiane

Toutefois, ce paramètre a une autre propriété qui doit être retenue :